动态规划略有所得 数字三角形(POJ1163)

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

    输入格式：

    5      //表示三角形的行数    接下来输入三角形

    7

    3   8

    8   1   0

    2   7   4   4

    4   5   2   6   5

    要求输出最大和

用递归解决很简单，从上到下遍历一边。

从第一行第一个开始寻找，判断左下或右下哪一个更大，用缓存数组提高效率

    if (i>=n||j>=n) {
        return 0;
    }
    if (cache[i][j] != -1) {
        return cache[i][j];
    }
    return cache[i][j]=Math.max(maxSum(i+1, j, n), maxSum(i+1,j+1,n))+num[i][j];
    

但是递归的效率很慢，不是一个好方法。

那么动态规划呢。

从下至上，首先计算最底层 。底层是无需计算的，保存即可。

下一步计算倒数第二层。

那么用循环就可以很简单的计算出最上面的第一行第一个即为所求

public class POJ1163 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[][] num = new int[n][n];
        int[][] cache = new int[n][n];
        int i = 0;
        while (i < n) {
            int j = 0;
            while (j <= i) {
                num[i][j] = sc.nextInt();
                j++;
            }
            i++;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            Arrays.fill(cache[j], -1);
        }
        long startTime=System.currentTimeMillis();   //获取开始时间
        System.out.println(maxSum(0,0,n,cache,num));
        long endTime=System.currentTimeMillis(); //获取结束时间
        System.out.println("程序运行时间： "+(endTime-startTime)+"ms");
         
        int[][] cal = new int[n][n];
        startTime=System.currentTimeMillis();   //获取开始时间
        for (i  = 0; i < n; i++) {
            cal[n-1][i] = num[n-1][i]; //保存最后一行就可以了
        }      
        for ( i = n-2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                cal[i][j] = Math.max(cal[i+1][j], cal[i+1][j+1])+num[i][j];
            }
        }
        System.out.println(cal[0][0]);
        endTime=System.currentTimeMillis(); //获取结束时间
        System.out.println("程序运行时间： "+(endTime-startTime)+"ms");
        
    }
    public static int maxSum(int i,int j, int n, int[][] cache,int [][] num) {
        if (i>=n||j>=n) {
            return 0;
        }
        if (cache[i][j] != -1) {
            return cache[i][j];
        }
        return cache[i][j]=Math.max(maxSum(i+1, j, n,cache,num), maxSum(i+1, j+1,n,cache,num))+num[i][j];
    }

}

还有一种节省空间的方法 用一维数组保存最大值

    int[] cal1 = new int[n];
    for (i  = 0; i < n; i++) {
        cal1[i] = num[n-1][i]; //sikao
    } 
    for ( i = n-2; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            cal1[j] = Math.max(cal1[j], cal1[j+1])+num[i][j];
        }
    }

    接下来，我们就进行一下总结：

    递归到动规的一般转化方法

    递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始， 逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

    动规解题的一般思路

    1. 将原问题分解为子问题

•     把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
•     子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。

    2.确定状态

•     在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
•     所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。

    整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

    3.确定一些初始状态（边界状态）的值

    以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

    4. 确定状态转移方程

     定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

    数字三角形的状态转移方程:

    
  

    能用动规解决的问题的特点

    1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。

    2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。