CCF计算机软件能力认证试题练习：201912-5 魔数
前置知识：BFS，线段树等
(f(x) = (x\%A)\%B)
这个函数值的和直接用线段树维护是不太行的（也可能是我不知道），后来想了很久的取模技巧操作...但是越想越远根本不着边际
网上也找不到题解，就去大佬群里面求助，cls一两句话就解决了这道题...
这几个U随便乘，最后只会有不到40个本质不同的数字
关于这个结论是如何得到的，不清楚，但是是很容易验证的，代码如下：
由于数字刚好不超过无符号longlong的范围，所以可以用快速乘来解决(复杂度log)，算法类似于快速幂，如果没有了解过的同学可以去学一下
ull U[5] = {
314882150829468584,
427197303358170108,
1022292690726729920,
1698479428772363217,
2006101093849356424
};
ull mod = 2009731336725594113;
unordered_map<ull, int> mp;
ull f[35],a[N][35];
int g[35][35];
ull mul(ull a, ull b){
ull res = 0;
for(;b;b>>=1){
if(b & 1) res = (res + a) % mod;
a = (a + a) % mod;
}
return res;
}
void getConvert(){
queue<ull> q;
int id = 1;
for(int i=0;i<5;i++)q.push(U[i]), mp[U[i]] = id++;
//BFS找到所有可能的结果
while(q.size()){
ull x = q.front();q.pop();
f[mp[x]] = x;
for(int i=0;i<5;i++){
ull t = mul(x, U[i]);
if(mp[t]) {
continue;
}
mp[t] = id++;
q.push(t);
}
}
// 得到转移函数
for(int i=1;i<=32;i++){
for(int j=i;j<=32;j++){
g[i][j] = g[j][i] = mp[mul(f[i], f[j])];
}
}
}
然后该怎么解决？线段树维护区间乘这32种数字的结果和。
因为不管怎么乘，最终结果只会对应乘的是这32个数字中的某一个。
对于线段树上的某个节点，(s[i]) 表示区间内每个数乘了第 i 个数字即 (f[i]) 后模2019的和。
对于每次修改，假如要乘第 (f[i]) 个数字，那么对于 (j in [1,32], s[j] = s[g[j][i]]) g数组的含义见上述代码，也就是 本来这个区间都乘了 (f[j])，然后又乘了个 (f[i])，那么最终就会发生转移，相当于乘第 (g[j][i]) 个数字，对应于原来的 (s[g[j][i]])
然后区间要打标记，如果之前没有标记过，那么 (tag = i) 表示当前乘了第 i 个数字，否则(tag = g[tag][i])进行转移
线段树上面的具体操作就是这样，但是我兴高采烈的写完就交了上去，一直T到怀疑人生。
初始化线段树节点只有 2n 个，每个初始化32次，复杂度根本不会炸
每次查询是 (32log n) ，总共1e5次查询，也不会炸，那是为什么呢？
实在没办法了，输入了个1000000 100000试了试...发现大概用了二十秒才初始化结束。突然顿悟原来这里还有个log的操作在做鬼
void build(int p, int l, int r){
t[p].l = l;t[p].r = r;
if(l == r){
for(int i=1;i<=32;i++){
//这一句复杂度是(log2e18),大概是60
//即使反过来换成mul(f[i],l)，也会有20左右的大小，根本无法承受
t[p].s[i] = mul(l, f[i]) % 2019;
}
t[p].res = t[p].s[28];
t[p].tag = 0;
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(p*2, l, mid);
build(p*2+1, mid+1, r);
for(int i=1;i<=32;i++){
t[p].s[i] = t[p*2].s[i] + t[p*2+1].s[i];
}
t[p].res = t[p].s[28];
t[p].tag = 0;
}
好了，这次应该知道怎么优化了，题目数据给出 A 序列初值为 1...n 也是有道理的，否则这里的复杂度怎么也优化不掉的
总时间复杂度(O(32n+32qlog n))
AC截图
这个时限(4s)，空间(1G)，感觉真是刚刚好
下面是AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << " 33[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << " 33[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
typedef unsigned long long ull;
const int N = 1000010;
ull U[5] = {
314882150829468584,
427197303358170108,
1022292690726729920,
1698479428772363217,
2006101093849356424
};
ull mod = 2009731336725594113;
unordered_map<ull, int> mp;
ull f[35],a[N][35];
int g[35][35];
ull mul(ull a, ull b){
ull res = 0;
for(;b;b>>=1){
if(b & 1) res = (res + a) % mod;
a = (a + a) % mod;
}
return res;
}
void getConvert(){
queue<ull> q;
int id = 1;
for(int i=0;i<5;i++)q.push(U[i]), mp[U[i]] = id++;
while(q.size()){
ull x = q.front();q.pop();
f[mp[x]] = x;
for(int i=0;i<5;i++){
ull t = mul(x, U[i]);
if(mp[t]) {
continue;
}
mp[t] = id++;
q.push(t);
}
}
for(int i=1;i<=32;i++){
for(int j=i;j<=32;j++){
g[i][j] = g[j][i] = mp[mul(f[i], f[j])];
}
}
}
int tmp[33];
int n, q;
struct SegTree{
int l,r;
int s[33];//维护它，但是它后期可能还会变
int res;
int tag;
// 转移函数，target表示乘 f[target]
void convert(int target){
for(int i=1;i<=32;i++){
tmp[i] = s[g[i][target]];
}
for(int i=1;i<=32;i++){
s[i] = tmp[i];
}
res = s[28];
if(tag == 0) tag = target;
else tag = g[tag][target];
}
}t[N<<2];
/*
下面初始res取 s[28]的原因是32个数字中第28个是 1
*/
void build(int p, int l, int r){
t[p].l = l;t[p].r = r;
if(l == r){
for(int i=1;i<=32;i++){
t[p].s[i] = a[l][i] % 2019;
}
t[p].res = t[p].s[28];
t[p].tag = 0;
return;
}
int mid = l + r >> 1;
build(p*2, l, mid);
build(p*2+1, mid+1, r);
for(int i=1;i<=32;i++){
t[p].s[i] = t[p*2].s[i] + t[p*2+1].s[i];
}
t[p].res = t[p].s[28];
t[p].tag = 0;
}
void pushdown(int p){
if(t[p].tag){
t[2*p].convert(t[p].tag);
t[2*p+1].convert(t[p].tag);
t[p].tag = 0;
}
}
int ask(int p, int l, int r){
if(t[p].l >= l && t[p].r <= r){
return t[p].res;
}
pushdown(p);
int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;
int res = 0;
if(mid >= l) res = ask(p*2, l, r);
if(mid < r) res = res + ask(p*2+1, l, r);
return res;
}
void change(int p, int l, int r, int k){
if(t[p].l >= l && t[p].r <= r){
t[p].convert(k+1);
return;
}
pushdown(p);
int mid = t[p].l + t[p].r >> 1;
if(mid >= l) change(p*2, l, r, k);
if(mid < r) change(p*2+1, l, r, k);
for(int i=1;i<=32;i++) t[p].s[i] = t[p*2].s[i] + t[p*2+1].s[i];
t[p].res = t[p].s[28];
}
int main(){
getConvert();
scanf("%d%d", &n, &q);
// 由于序列是1...n，所以可以直接用加法递推
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=32;j++){
if(i == 1) a[i][j] = f[j] % mod;
else a[i][j] = (f[j] + a[i-1][j]) % mod;
}
}
build(1, 1, n);
while(q--){
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
int res = ask(1, l, r);
printf("%d
", res);
change(1, l, r, res % 5);
}
return 0;
}
最后膜一下500分的那位大佬，在没有oj的情况下可以一发AC实在是非人哉
感谢耐心指导我的cls（杭电WF选手）
附样例2输入数据
100 100
45 74
38 50
7 45
42 62
83 100
50 51
8 11
93 98
64 70
15 87
30 87
13 79
14 81
18 79
70 88
25 39
13 57
55 85
80 92
83 90
54 75
1 61
17 42
25 49
39 77
32 45
83 87
30 47
59 84
25 50
1 82
21 45
72 96
3 85
16 64
52 92
28 29
84 88
26 93
10 67
27 76
57 62
43 69
63 66
5 59
9 46
49 53
35 50
3 19
23 62
38 73
17 68
34 83
42 91
13 92
19 62
17 70
18 75
95 99
35 90
81 91
59 63
5 90
22 87
51 88
25 61
56 91
50 78
11 60
11 18
27 45
57 82
16 54
3 94
33 56
9 71
68 88
24 36
7 64
48 85
58 76
20 43
9 90
24 27
71 97
25 95
73 97
55 83
22 43
53 55
68 88
12 44
25 87
14 46
34 56
15 35
7 80
46 87
23 71
88 93