• CF Hello 2020 E.New Year and Castle Construction


    E.New Year and Castle Construction

    题意

    给定n个点,对于每个点(p),求出4-point 子集(该子集有四个点,并且围成的圈包含(p))的个数

    数据给的点中没有三点共线的情况

    这个题的题意并不是很好理解,补题过后还发现自己理解的题解是有问题的。

    分析

    1. 四个点围成一个圈,第5个点在其中。所以总方案数为(n*C_{n-1}^4),枚举中间那个点,然后从剩余的(n-1)个点中选剩余的四个点。

    2. 考虑(n^2)的做法,正向枚举所有方案中可行的方案并不是很合适,因为要考虑更大的子集的情况,所以反向枚举。

    3. 不合法的方案:其他的四个点并不能包含点(p)。枚举这四个点中的其中一个点(q),计算取剩余3个点的方案数。考虑(p)(q)连成的直线,可以从这条直线某一侧取出三个点,可以发现这样的组合一定不会使得四个点构成的圈包含(p)

    4. 如何不重不漏的删除所有不合法的方案?对于每个(p)(q)作为四个点中,与(p)连线斜率最小的那个点,然后在这样的基础上,只能从(pq)连线一侧拿另外三个点。可以想到这样的方案对于(p)来讲是没有重复的。而(p)的枚举又是独立的,所以可以补充不漏的删除所有方案。

    const int N = 3005;
    long double x[N],y[N];
    int main()
    {
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin >> x[i] >> y[i];
        }    
        ll res = 1ll * n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 24;
        long double pi = acos(-1.0L);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            vector<long double> v;
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i == j)continue;
                v.push_back(atan2(y[j]-y[i],x[j]-x[i]));
            }
            sort(v.begin(),v.end());
            int m = n-1,index = 0;
            for(int j=0;j<m;j++){
                while(index < j + m){
                    long double ang = v[index%m] - v[j];
                    if(ang < 0) ang += 2 * pi;
                    if(ang < pi)index ++;
                    else break;
                }
                ll cnt = index - j - 1;
                res -= 1ll * cnt * (cnt - 1) * (cnt - 2) / 6;
            }
        }
        cout << res << endl;
        return 0;
    }
    

    参考链接

    B站up主:https://www.bilibili.com/video/av82161298?p=411

    ps:题解有些许啰嗦,up主视频中讲解的很清楚,然后我对这个解法的正确性进行了一些额外的思考,表达能力欠佳,如果读者发现描述中有不准确或者不理解的地方,烦请在下面留言,谢谢!在最后非常感谢B站up主qscqesze的讲解。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/1625--H/p/12158932.html
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