3.3-3.9 周记

3.3-3.10

1. NIM游戏

百度链接：https://baike.baidu.com/item/Nim游戏/6737105?fr=aladdin

定义：

• P局面：先手必败
• N局面：先手必胜

P局面的所有子局面都是N局面。N局面的子局面中必有一个是P局面

性质：(a_1 xor a_2 xor cdots xor a_n = 0) 则为P局面

证明：

若某个局面异或结果大于0，则一定存在一个操作使得(a_1 xor a_2 xor cdots xor a_n = 0)

若某个局面异或结果等于0，则一定不存在一个操作使得(a_1 xor a_2 xor cdots xor a_n = 0)

因为若Nim和为X，X得二进制表示最左边的1在第k位，则一定存在一个该位为1的堆。设这堆火柴数量为Y，则只需把它拿成 Z = Y xor X 根火柴，得到的状态就是必败状态。

2. chomp！游戏

m*n的棋盘，每次取走一个方格并拿掉它右边和上面的所有方格。拿到(1,1)的人输。

先手必胜，因为先手可以在后手先一步达到必胜状态。

3. SG函数

SG(x) = mex(S)

4. 动归复习

1. LCIS

求两个序列的最长公共上升子序列

d[i][j]表示A的前i个与B的前j个，并且以(B_j)为结尾的LCIS长度。为啥一定要带这个结尾信息呢？因为进行下一次拼接时，必须知道结尾信息，否则不能满足上升关系。

• A[i] != B[j]时，d[i][j] = d[i-1][j]
• A[i] == B[j]时，(d[i][j] = max_{{1le k<j, B_k<A_i}} {d[i-1][k]}+1)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int A[3030],B[3030];
int d[3030][3030];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&B[i]);
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int val = 0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(B[j] == A[i]){
                d[i][j] = val+1;
            }
            else d[i][j] = d[i-1][j];
            if(B[j]<A[i]) val = max(val,d[i-1][j]);
            ans = max(ans,d[i][j]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2. POJ-3666

$S = |A_1 - B_1| + |A_2 - B_2| + ... + |A_N - B_N | $

给出A数组，求一个不下降或者不上升的B数组，使得S值最小

可以猜到的是，B数组中的所有元素都在A中出现过。（数学归纳法可以证明，但也要靠直觉）

然后既然A来自B，那么也就是说可以先把A复制一份，然后从中选某些数字，进而得到B。

(d[i][j]) 表示A数组的前 i 个，当以(B_j)结尾时，S的最小值

(d[i][j] = min_{1le kle j} d[i-1][k] + abs(A[i]-B[j]))

其中B必须先离散化，随着j有序之后才可以。

ll a[2010],b[2010],d[2010];
int n;
ll abs(ll a){
    return a>0?a:-a;
}
ll dp()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		d[i] = abs(a[1]-b[i]);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		ll mi = d[1];
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			mi = min(mi,d[j]);
			d[j] = mi + abs(a[i]-b[j]);
		}
	}
	ll ans = d[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		ans = min(ans,d[i]);
	return ans;
}
bool cmp(ll a,ll b)
{
	return a>b;
}
int main() 
{
	cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%lld",&a[i]);
    	b[i] = a[i];
    }
    sort(b+1,b+1+n);
    ll ans = dp();
    sort(b+1,b+1+n,cmp);
    ans = min(ans,dp());
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

3. CH-5102 Mobile Service

三个员工在1，2，3。

要求按照p序列，必须有一个员工到达对应位置。求最少距离。要求一个地方不能有两个员工。

很容易想到$d[i][x][y][z] $ 表示当前为p[i]，三个员工为x,y,z位置时的最少花费。

但是该算法规模为 (1000*200^3) 故不能承受。

但是考虑到 i 时刻，必然有一个员工在p[i]位置。所以可以节约一维。另外转移的时候一定要注意，不能有两个人在同一个地方

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int cost[220][220];
int L,n,p[1010];
int d[1010][220][220];
int main(){
    cin>>L>>n;
    for(int i=1;i<=L;i++)
        for(int j=1;j<=L;j++)scanf("%d",&cost[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
    p[0] = 1;
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[0][2][3] = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=1;j<=L;j++){
            for(int k=1;k<=L;k++){
                if(p[i+1]!=j&&p[i+1]!=k)
                d[i+1][j][k] = min(d[i+1][j][k],d[i][j][k] + cost[p[i]][p[i+1]]);
                if(p[i+1]!=k&&p[i+1]!=p[i])
                d[i+1][p[i]][k] = min(d[i+1][p[i]][k],d[i][j][k] + cost[j][p[i+1]]);
                if(p[i+1]!=j&&p[i+1]!=p[i])
                d[i+1][j][p[i]] = min(d[i+1][j][p[i]],d[i][j][k] + cost[k][p[i+1]]);
            }
        }
    }
    int res = inf;
    for(int i=1;i<=L;i++)
        for(int j=1;j<=L;j++){
            if(i!=p[n]&&j!=p[n])
            res = min(res,d[n][i][j]);
        }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

4. CH-5103 传纸条

d[i][x1][x2] 表示走了 i 步，一条路径在x1，一条路径在x2时的最大权值和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[55][55];
int d[110][55][55];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);
    d[0][1][1] = a[1][1];
    for(int i=0;i<n+m-2;i++){
        for(int x1 = 1;x1<=1+i&&x1<=n;x1++){
            for(int x2 = x1;x2<=1+i&&x2<=n;x2++){
                int y1 = i+2-x1;
                int y2 = i+2-x2;
                if(y1>m||y2>m)continue;
                d[i+1][x1][x2+1] = max(d[i+1][x1][x2+1],d[i][x1][x2]+a[x1][y1+1]+a[x2+1][y2]);
                if(x1==x2){
                    d[i+1][x1][x2] = max(d[i+1][x1][x2],d[i][x1][x2]+a[x1][y1+1]);
                    d[i+1][x1+1][x2+1] = max(d[i+1][x1+1][x2+1],d[i][x1][x2]+a[x1+1][y1]);
                }
                else{
                    d[i+1][x1][x2] = max(d[i+1][x1][x2],d[i][x1][x2] + a[x1][y1+1]+a[x2][y2+1]);
                    d[i+1][x1+1][x2+1] = max(d[i+1][x1+1][x2+1],d[i][x1][x2]+a[x1+1][y1]+a[x2+1][y2]);
                    if(x1==x2-1){
                        d[i+1][x1+1][x2] = max(d[i+1][x1+1][x2],d[i][x1][x2]+a[x1+1][y1]);
                    }
                    else d[i+1][x1+1][x2] = max(d[i+1][x1+1][x2],d[i][x1][x2]+a[x1+1][y1]+a[x2][y2+1]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<d[n+m-2][n][n]<<endl;
    return 0;
}

5. CF-1118

D2 - Coffee and Coursework (Hard Version)

• 很容易想到的二分，在一个处理上面卡壳了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200010;
typedef long long ll;
int n,m;
ll a[N],b[N];
bool cmp(ll a,ll b){return a>b;}
bool check(int mid){
    ll sum = 0;
    for(int i=0;;i++){
        if(mid+i*mid<=n&&a[mid+i*mid]>=i){
            sum += b[(i+1)*mid] - b[i*mid] - i*(mid);
        }
        else{
            int index;
            for(index = i*mid+1;index<=n&&index<=(i+1)*mid;index++)
                if(a[index]<=i)break;
            sum += b[index-1]-b[i*mid]-i*(index - i*mid -1);
            break;
        }
    }
    return sum>=m;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        b[i] = b[i-1]+a[i];
    }
    int l = 1,r = n;
    while(l<r){
        int mid = (l+r)/2;
        if(check(mid))r = mid;
        else l = mid+1;
    }
    if(check(r))
        cout<<r<<endl;
    else cout<<-1<<endl;
    return 0;
}

6. CF-1121

C - System Testing

• 烦人的模拟，一开始理解错题意了，看题这种事情实在是不能马虎

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m;
int now[110],a[1010],pre[110],now_id[110],has[1010];
int round(int x,int y){
    return (int)((double)x*100/y+0.5);
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    priority_queue< pair<int,int> > q;
    int num = 0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        now[i] = a[i];
        pre[i] = 1;
        now_id[i] = i;
        q.push(make_pair(-a[i],i));
    }
    int now_time = 0;
    int res = 0,t = m;
    for(int now_time = 1;now_time<=150*1000;now_time++){
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(now[i]<now_time){
                num++;
                if(t<n){
                    now[i] += a[++t];
                    pre[i] = now_time;
                    now_id[i] = t;
                }
                else{
                    now[i] = inf;
                    pre[i] = inf;
                }
            }
        }
        int rou = round(num,n);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            if(now_time-pre[i]+1==rou){
                has[now_id[i]] = 1;
            }
        }
        if(num == n)break;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)if(has[i])res++;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

7. CF-1036

C - Classy Numbers

• 组合数
• 寻思了挺久，不过1A。大概还是用到了部分递推。函数写了一堆

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll L,R;
int T;
ll C[20][20];
ll A[20][20];
ll po[20];
//初始化组合数和10的n次方
void init(){
    C[0][0] = 1;
    for(int i=1;i<=18;i++){
        C[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++){
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
        }
    }
    po[0] = 1;
    for(int i=1;i<=18;i++)po[i] = po[i-1]*10;
}
//计算某个数长度
int calc_len(ll x){
    int len = 0;
    while(x){
        x/=10;len++;
    }
    return len;
}
//计算某个数的头位有多大
int calc_left(ll x){
    while(x>=10)x/=10;
    return x;
}
ll calc(ll x,ll num){
    if(num==0)return 1;
    ll len = calc_len(x);
    ll max_left = calc_left(x);
    //printf("%lld %lld %lld %lld
",x,len,max_left,num);
    ll res = 0;
    for(int i=num-1;i>=0;i--){
        res += (max_left-1)*C[len-1][i]*A[9][i];
    }
    for(int i=num;i>=0;i--)
        res += C[len-1][i]*A[9][i];
    //printf("%lld %lld
",x,res);
    res += calc(x-max_left*po[len-1],num-1);
    return res;
}
int main(){
    init();
    A[9][0] = 1;A[9][1] = 9;A[9][2] = 81;A[9][3] = 729;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>L>>R;
        //printf("calc(R,3):%lld,calc(L,3):%lld
",calc(R,3),calc(L,3));
        ll res = calc(R,3)-calc(L-1,3);
        printf("%lld
",res);
    }
    return 0;
}

• 方法二：先把所有满足要求的数字求出来，然后二分划定区间。可以求出这样的数字不是特别多 $9*10^2 * A_{18}^3 = 4406400 $

#include <bits/stdc++.h>

#define forn(i, n) for (int i = 0; i < int(n); i++)

using namespace std;

vector<long long> res;
//可以说非常巧妙了
void brute(int pos, int cnt, long long cur){
    if (pos == 18){
        res.push_back(cur);
        return;
    }
    
    brute(pos + 1, cnt, cur * 10);
    
    if (cnt < 3)
        for (int i = 1; i <= 9; ++i)
            brute(pos + 1, cnt + 1, cur * 10 + i);
}

int main() {
    brute(0, 0, 0);
    res.push_back(1000000000000000000);
    
    int T;
    scanf("%d", &T);
    forn(i, T){
        long long L, R;
        scanf("%lld%lld", &L, &R);
        printf("%d
", int(upper_bound(res.begin(), res.end(), R) - lower_bound(res.begin(), res.end(), L)));
    }
    return 0;
}

8. CF-1132

C - Painting the Fence

• 第一眼没看出来是个可以暴力的的题目

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q;
int a[5010],b[5050],c[5050];
struct node{
    int l,r;
}k[5050];
bool cmp(node x,node y){
    if(b[x.r]-b[x.l-1]==b[y.r]-b[y.l-1]){
        return x.r-x.l<y.r-y.l;
    }
    return b[x.r]-b[x.l-1]<b[y.r]-b[y.l-1];
}
int main(){
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        scanf("%d%d",&k[i].l,&k[i].r);
        a[k[i].l]++;
        a[k[i].r+1]--;
    }
    int res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i] += a[i-1];
        if(a[i]!=0)res++;
        b[i] += b[i-1] + (a[i]==1?1:0);
        c[i] += c[i-1] + (a[i]==2?1:0);
        //printf("%d ",c[i]);
    }
    int mi = 0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=q;i++){
        
        for(int j=i+1;j<=q;j++){
            int cnt = 0;
            int r = min(k[i].r,k[j].r);
            int l = max(k[i].l,k[j].l);
            cnt += b[k[i].r]-b[k[i].l-1] + b[k[j].r]-b[k[j].l-1];
            if(r>=l) cnt += c[r]-c[l-1];
            mi = min(mi,cnt);
        }
    }
    cout<<res-mi<<endl;
    return 0;
}

• CF给的教程是枚举每个 i ，然后统计出除 i 之外最优解。然后整体取最优解。

F - Clear the String

• 区间dp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
char s[550];
int d[550][550];
int main(){
    cin>>n;
    scanf("%s",s+1);
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i][i] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            for(int k=j;k<i;k++){
                if(k==i-1){
                    if(s[k]==s[i])d[j][i] = min(d[j][i],d[j][k]);
                    else d[j][i] = min(d[j][i],d[j][k]+1);
                    continue;
                }
                if(s[k] == s[i]){
                    d[j][i] = min(d[j][i],d[j][k]+d[k+1][i-1]);
                }
                else d[j][i] = min(d[j][i],d[j][k]+d[k+1][i-1]+1);
            }
            //printf("%d %d %d
",j,i,d[j][i]);
        }
    }
    cout<<d[1][n]<<endl;
    return 0;
}