线性基学习笔记
线性基是什么》》》
给定一个序列 (A=a_1, a_2, a_3 cdots a_n) ,定义集合 (S) 为 (A) 子集的异或和组成的集合。
一个集合 (B) 使得 (S) 中的数可以由 (B) 中的几个数异或得到,且 (B) 的任意真子集不满足该性质,则 (B) 为 (A) 的线性基。
怎么求线性基?
把 (A) 中的数一个一个插入线性基即可。
插入方法:设现在已经得到的线性基为 (A_0) ,插入的数为 (x) ,从高到低扫描 (x) 的二进制位,如果这一位上有基,就把 (x) (xor) (a_i) 知道找到第一个没有基的位置,否则 (x) 不对线性基造成影响。
证明:别问 问就是不会;(按照上述证明过程,显然 (A) 中每个数的 (1) 都可以由线性基里的数得到,且不难发现 (forall_j b_j) 第 (j) 位之前都是 (0)
代码实现:
struct linear_basis {
ll a[65];
inline void insert(ll x) {
if(!x) return ;
for(int i=maxl;i>=0;i--)
if(x&(1ll<<i)) {
if(!a[i]) { a[i]=x; break; }
x^=a[i];
}
}
}B;
一些应用
在 (n) 个数中选若干个数的最大异或和
在得到线性基后,只需从高到低考虑 线性基中的数是否会使答案增大即可。
在一个无向连通图中找一条从1到n的路径,使路径长度异或和最大
显然,这条路径由一条链和若干环组成,所以可以先 (dfs) 找到一条链;
不难发现,这条链发生变化当且仅当链上的两个节点之间的路径发生改变,改变前后的两段刚好是一个环;
所以,任意一条链可以通过异或这个环的异或和得到;
考虑环,有一部分在链上的环已经考虑过,只需考虑不在链上的;
显然从环到链这一段是无效的;
所以把环的异或和插入线性基即可;