The Nth Item

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/41355

解题思路：其实这道题思路很简单，就是求出每一次的n₁带进去算出F(n₁),然后n₂就是n₁ xor F(n₁)²,关键在于时间限制是1000ms；

本题采用 二次剩余定理+求逆元+光速幂

利用二次剩余定理+求逆元 可以将该方程转化为 f(n)=559329360(262199973ⁿ-736044383ⁿ)%998244353

转化过程采用暴力求 二次剩余和逆元

//暴力求二次剩余
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int p=998244353;
int main(int argc, char const *argv[])
{
    for (long long i = 2; i < 10000000000; ++i)
    {
        if ((i*i-17)%p==0)
        {
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

这里我们采用524399943(感觉随便用一个就行)，暴力求逆元

//暴力求524399943的逆元
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int p=998244353;
int main(int argc, char const *argv[])
{
    for (long long i = 2; i < 10000000000; ++i)
    {
        if ((i*524399943-1)%p==0)
        {
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

这样便得到了559329360，同理，接下来根据求余的运算规则处理剩下的部分，最后得到方程f(n)=559329360(262199973ⁿ-736044383ⁿ)%998244353

接下来使用光速幂算法，便可以解出此题，关于光速幂的讲解网上有很多很详细的讲解，这里就不在复述了，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define RG register
#define ll long long 
using namespace std;


const int N=5e4;//循环结
const ll p=998244353;
const ll k1=262199973;
const ll k2=736044383;
const ll a=559329360;

ll f1[N+11];
ll f1x[N+11];
ll f2[N+11];
ll f2x[N+11];

void init ()
{
    f1[0]=1;
    f1x[0]=1;
    f2[0]=1;
    f2x[0]=1;//why?
    for (RG int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        f1[i]=(f1[i-1]*k1)%p;
        f2[i]=(f2[i-1]*k2)%p;
    }
    for (RG int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        f1x[i]=((f1x[i-1]%p)*(f1[N]%p))%p;
        f2x[i]=((f2x[i-1]%p)*(f2[N]%p))%p;
    }
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    init();
    int n;
    long long ans=0,fn,m1;
    scanf("%d%lld",&n,&m1);
    while(n--)
    {
        if (m1==0) break;
        long long m=m1;
        if (m>=p-1) m=m%(p-1)+(p-1);
    
        fn=((f1x[m/N]*f1[m%N])%p-(f2x[m/N]*f2[m%N])%p);
        
        fn=(fn%p+p)%p;

        fn=((fn%p)*(a%p))%p;

        ans^=fn;
        m1=m1^(fn*fn);

    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

相关题目练习：https://www.luogu.org/problem/P5110

光速幂练习：https://www.csdn.net/link?target_url=https%3A%2F%2Fwww.luogu.org%2Fproblem%2FP1226&id=100174163&token=0a8a1eaf0e54cd3d2f06886fb428c6b5