设$E$是复平面$mathbb C$中的任意点集,那么$mathbb C$中的点可分为三类：
1)点$ainmathbb C$称为$E$的内点,如果存在$r>0$使得$B(a,r)subset E$,内点的全体称为内部,用集合用$E^{circ}$表示;
2)称为$E$的外点,如果$B(a,r)subset E^c$,外点的全体称为外部,由定义显然$left(E^c ight)^{circ}$即为$E$的外部.;
3)称为$E$的边界点,如果$forall r>0$都有$$B(a,r)cap E eqvarnothing,B(a,r)cap E^c eqvarnothing$$边界点的全体用$partial E$表示.
按照点集的性质显然复平面$mathbb C$可被分解成无交并$$mathbb C=E^circcup left(E^c ight)^{circ}cuppartial E$$
如果$E=E^{circ}$,那么称$E$为开集;如果$E^c$为开集,那么称$E$为闭集.
点$a$称为$E$的极限点,如果对任意的$r>0$,去心邻域$B(a,r)setminus{a}$总包含$E$中的点 ,$E$的极限点的全体称为$E$的导集,记作$E'$.而$E$中那些不是极限点的点称为孤立点,而$E$和$E'$并称为$E$的闭包,记作$overline{E}=Ecup E'$.
如下结论应当是显然的:
1.$E^{circ}$是开集,$partial E,overline{E}$都是闭集;
2.$E$是闭集的充要条件是$E=overline{E}Leftrightarrow E'subset E$.
对任意的点集$E$,我们定义$E$的直径$$mathrm{diam}E=mathrm{sup}left{|z_1-z_2|:z_1,z_2in E ight}$$我们便可以将实数集的闭区间套定理推广,即:
若有非空闭集序列${F_n}$满足:(1)$F_1supset F_2supsetcdots$;(2)$mathrm{diam}F_n o 0(n oinfty)$,那么$igcap_{n=1}^{infty}F_n$是一个单点集.
证明 任取$z_nin F_n$,由条件对任意的$varepsilon>0$,存在$N>0$使得$n>N$时恒有$mathrm{diam}F_n<varepsilon$,从而当$n,m>N$时由于$z_n,z_min F_N$,必有$$|z_n-z_m|<mathrm{diam}F_N<varepsilon$$这说明${z_n}$是Cauchy列,从而必收敛,设$z_n o z_0(n oinfty)$,我们来说明$z_0inigcap_{n=1}^{infty}F_n$,注意点列${z_n}subset F_k,forall kinmathbb N$,而每个$F_k$都是闭集,因此极限点$z_0in F_k$,由$k$的任意性即得$z_0inigcap_{n=1}^{infty}F_k$.如若还有另外一点$ainigcap_{n=1}^{infty}F_k$,那么必然有$$|z_0-a|leqmathrm{diam}F_n o0(n oinfty)$$这说明$z_0=a$,命题成立.
设$E$是一个集合,集族$mathscr{F}={G}$是一个开集族,即$mathscr F$中每个元素$G$都是开集.如果$E$中每个点都至少属于$mathscr F$中的一个开集,那么称$mathscr F$为$E$的一个开覆盖.特别的如果对于$E$的每个开覆盖$mathscr{F}$,总能找到有限个开集$G_1,cdots,G_ninmathscr F$使得这有限个便能覆盖住$E$,即$$Esubsetigcup_{i=1}^{n}G_i$$我们称$E$为紧集.
关于紧集,我们有:在$mathbb C$中,$E$为紧集的充要条件是$E$是有界闭集;而在$mathbb C_{infty}$中,$E$是紧集的充要条件是$E$是闭集.
证明 首先如果$E$是$mathbb C$中的有界闭集,那么按照实数集的有限覆盖定理类似可证$E$是紧集.而若$E$是$mathbb C_{infty}$中的闭集,如果不包含$infty$,注意$E^c$是开集,从而存在$r>0$使得$B(infty,r)subset E^c$,说明$E$中每个元素$z$都有$|z|leq r$,从而$E$有界,那么和第一种情况没有区别.如果$inftyin E$,在$mathscr F$中可以找到某个开集$G_0$覆盖$infty$,那么$Esetminus G_0$为有界闭集且被$mathscr F$覆盖,自然仍然可被有限覆盖.
另一方面,如果$E$中的紧集,我们不只需说明他是$mathbb C_{infty}$中的闭集即可.因为如若$E$是闭集又不包含$infty$,那么他必然是有界的.为了说明$E$是闭的,仅需说明$E^c$是开集即可,为此任取$ain E^c$.对任意的$zin E$,存在$r_z>0$使得$a otin overline{B(z,r_z)}$,当$z$取遍$E$中所有点时,这些开圆盘便构成了$E$的一个开覆盖$$mathscr F=left{B(z,r_z):zin E ight}$$由$E$的紧性,从而可在$mathscr F$中取出有限个$B(a_i,r_i),i=1,2,cdots,n$使得$Esubsetigcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i)$且由构造过程可以看出$$ainleft(igcup_{i=1}^{n}overline{B(a_i,r_i)} ight)^c$$注意$left(igcup_{i=1}^{n}overline{B(a_i,r_i)} ight)^c$是开集,从而存在$r>0$使得$$B(a,r)subsetleft(igcup_{i=1}^{n}overline{B(a_i,r_i)} ight)^csubsetleft(igcup_{i=1}^{n}B(a_i,r_i) ight)^csubset E^c$$这说明$E^c$是开集,从而$E$是闭集.
集合之间的距离:设$E,F$是任意两个集合,那么定义他们之间的距离为$$d(E,F)=mathrm{inf}left{|z_1-z_2|:z_1in E,z_2in F ight}$$特别的如果$E$是单点集${a}$,那么$$d(E,F)=d(a,F)=mathrm{inf}left{|a-z|:zin F ight}$$可以看出如果$F$是闭集且$a otin F$,那么$d(a,F)>0$,这是因为$ain F^c$且$F^c$是开集,从而存在$r>0$使得$B(a,r)subset F^c$,因此$d(a,F)geq r>0$.类似的如若$E$是有限点集,$F$是闭集且$Ecap F=varnothing$,同样的有$d(E,F)>0$.但是$E$也是无穷闭集结论未必成立,反例是$E=mathbb R$即为实轴,$F$是$y=e^x$的图像,显然二者都是无限闭集,但是$d(E,F)=0$.但是对于紧集,我们有:
设$E$是紧集,$F$是闭集且$Ecap F=varnothing$,则$d(E,F)>0$.
证明 对任意的$ain E$,按照前面的分析$$r_a:=d(a,F)>0$$考虑集族$mathscr F:=left{Bleft(a,frac{1}{2}r_a ight):ain E ight}$,显然构成了$E$的开覆盖,而$E$是紧的,从而可从$mathscr F$中选除有限个$Bleft(a_i,frac{1}{2}r_i ight),i=1,2,cdots,n$使得$$Esubsetigcup_{i=1}^{n}Bleft(a_i,frac{1}{2}r_i ight)$$这样的对任意的$z_1in E$,必然有某个圆盘$Bleft(a,frac{1}{2}r_a ight)inmathscr F$使得$z_1in Bleft(a,frac{1}{2}r_a ight)$,从而对任意的$z_2in F$有egin{align*}|z_1-z_2|&geq|a-z_2|-|a-z_1|\&geq r_a-frac{1}{2}r_a=frac{1}{2}r_a\Rightarrow d(E,F)&geqfrac{1}{2}r_a>0end{align*}
以上讨论说明紧集保留了大部分有限集的性质!
与实数集的Weierstrass聚点定理类似,我们有:扩充复平面$mathbb C_{infty}$中的任意无限点集$E$必然有有极限点.
证明 如若$E$无界,那么显然$infty$便是其极限点.而若$E$是有界集,如果没有极限点,那么他是一个闭集,从而是一个紧集.并且对任意的$zin E$,存在$r_z>0$使得$B(z,r_z)$中除了$z$不再有$z$中其他的点.当$z$取遍$E$中所有点时,集族$mathscr F:={B(z,r_z):zin E}$便构成$E$的一个开覆盖,从而可取出有限个覆盖$E$.而每个开集中仅含有$E$中一个点,这说明$E$是有限集,矛盾!因此$E$一定有极限点.
最后介绍一个重要的结论,设集合$Esubsetmathbb C$既是开集又是闭集,那么$E=varnothing$或$E=mathbb C$.
借助于后面连通性的知识这个结论是显然的,这里给出一个不依赖$mathbb C$的连通性的证明.不妨设$E$不包含$infty$,否则考虑$E^c$即可,他也是一个既开又闭的集合.因此$E$必然是一个有界闭集也是开集.显然这是不可能的,因为$E$必然有边界点.