定义：设群$G$的阶数$|G|=p^rm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$,那么$G$的$p^k(kleq r)$阶子群均叫做$G$的$p$子群,特别的$p^r$阶子群称为Sylow $p-$子群.
Lagrange定理告诉我们子群的阶数一定是群阶数的因子,但是反过来未必成立,也就是说对于群$G$阶数的任意因子$d$,$G$未必有$d$阶子群.例如$60$阶群$A_5$没有$30$阶子群,因为如果有这一定是正规的,与$A_5$的单性相矛盾.但是对于$p$子群的问题,我们有：
Sylow第一定理 设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.那么对任意的$p^kig||G|$,$G$存在$p^k$阶子群,特别的Sylow$p-$子群存在.
证明 命集合$Omega:=left{Asubset G:|A|=p^k ight}$即为$G$的$p^k$阶子集的全体,显然$|Omega|=inom{n}{p^k}$.考虑置换表示$phi:G o S(Omega)$,$phi(g)A=gA$,从而$Omega$可被分解成一些轨道的无交并,从而$$inom{n}{p^k}=|Omega|=sum_{i=1}^{t}left|mathrm{Orb}(A_i) ight|=sum_{i=1}^{t}frac{p^lm}{left|mathrm{Stab}(A_i) ight|}$$接下来需要一个引理:$p^{l-k}ig|inom{n}{p^lm}$,其中$ig|$表示恰好整除的意思,即$$p^{l-k}ig|inom{n}{p^k},p^{l-k+1} midinom{n}{p^k}$$证明的话只需将组合数公式展开即可.
根据引理,那么存在某个轨道$mathrm{Orb}(A)$使得$p^{l-k+1} mid|mathrm{Orb}(A)|$,但是$|mathrm{Orb}(A)|$是$|G|=p^lm$的因子,这说明$|mathrm{Orb}(A)|$含有$p$的因子至多为$p^{l-k}$,而$$|mathrm{Stab}(A)|=frac{p^lm}{|mathrm{Orb}(A)|}$$这说明$|mathrm{Stab}(A)|$含有$p$的因子至少为$p^k$,也就是说$p^kig||mathrm{Stab}(A)|$,另一方面注意到$forall ain A$有$$mathrm{Stab}(A)a:=left{ga:ginmathrm{Stab}(A) ight}subset A$$这说明$|mathrm{Stab}(A)|=|mathrm{Stab}(A)a|leq |A|=p^k$,因此$|mathrm{Stab}(A)|=p^k$,即为$G$的$p^k$阶子群.
Sylow第二定理 设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.设$H$是$G$的任意$p^k,(kleq l)$阶子群,而$P$为$G$的Sylow$p-$子群.那么存在$gin G$使得$$Hsubset gPg^{-1}$$换言之群的任意$p$子群必然包含在Sylow$p-$子群的某个共轭子群(事实上这也是Sylow$p-$子群)中,特别的全体Sylow$p-$子群彼此共轭.
证明 命$Omega:={gP:gin G}$即为$P$在$G$中的左陪集全体,根据Lagrange定理$|Omega|=m$,考虑置换表示$phi:H o S(Omega)$,定义$phi(h)gP=hgP$.那么我们有轨道的无交并分解$$|Omega|=m=sum_{i=1}^{t}|mathrm{Orb}(P_i)|,P_i=g_iP$$注意到每个$|mathrm{Orb}(P_i)|$都是$|H|=p^k$的因子,但是等式左边$(m,p)=1$,这说明一定存在某个轨道长度为$1$(也就是不动点),设为$|mathrm{Orb}(gP)|=1$,即$forall hin H$都有$hgP=gP$,从而$Hsubset gPg^{-1}$.
特别的如果$k=l$,那么$H$本身也是Sylow$p-$子群,那么$|H|=|gPg^{-1}|=p^l$,从而$H=gPg^{-1}$,这说明Sylow$p-$子群彼此共轭.
Sylow第二定理的一个直接推论是,如果群$G$的Sylow$p-$子群仅有一个,那么必然是正规的!
Sylow第三定理 设群$G$的阶数$|G|=n=p^lm$,其中$p$为素数且$(p,m)=1$.那么$G$的Sylow$p-$子群个数$N(p)$满足$$N(p)ig|m,N(p)equiv 1(mathrm{mod}~~p)$$证明 任取$G$的Sylow$p-$子群$P$,按照第二定理可知$N(p)=[G:N_G(P)]ig|[G:P]=m$.另一方面命集合$Omega:=left{gPg^{-1}:gin G ight}$即为$G$的Sylow$p-$子群的全体,考虑置换表示$phi:P o S(Omega)$,定义$phi(a)gPg^{-1}=agPg^{-1}a^{-1}$,那么我们有轨道分解$$|Omega|=N(p)=sum_{i=1}^{t}left|mathrm{Orb}(P_i) ight|,P_i:=g_iPg_{i}^{-1}$$根据轨道稳定子定理每个轨道的长度$left|mathrm{Orb}(P_i) ight|$都是群$P$阶数$p^l$的因子,但是$N(p)ig|m$,而$(p,m)=1$,这说明必然有一些轨道的长度为$1$,这些元素便构成了不动点集$Omega_0$,从而$$N(p)=|Omega_0|+sum_{left|mathrm{Orb}(P_i) ight|geq2}left|mathrm{Orb}(P_i) ight|$$设$gPg^{-1}inOmega_0$,那么$forall ain P$都有$agPg^{-1}a^{-1}=gPg^{-1}Rightarrow g^{-1}Pgsubset N_{G}(P)$,由于$|g^{-1}Pg|=|P|=p^l$,因此$g^{-1}Pg,P$都是$N_G(P)$的Sylow$p-$子群,按照第二定理二者必然在$N_G(P)$中共轭,即存在$bin N_G(P)$使得$g^{-1}Pg=bPb^{-1}=P$,这说明$Omega_0$仅有一个元素,即为$P$,因此$$N(p)equiv1(mathrm{mod}p)$$