问题的起源
已知 (a,b) 两个正整数，(ax+by) ((x,yinmathbb{Z})) 的取值范围是怎么样的？
首先，若 (y=0)，那么 (ax+by) 可以取 (cdots ,-2a,-a,0,a,2a,cdots)，这些取值组成一个模 (a) 等价类 ([0]_a)
根据整数模 (n) 的余数，我们可以将所有整数划分成 (n) 个等价类（也叫同余类、剩余类）。包含整数 (a) 的模 (n) 等价类为 ([a]_n={a+kn:kin mathbb{Z}})。例如，([3]_7={cdots,-11,-4,3,10,17,cdots})，这个集合同时也可以表示为 ([-4]_7) 和 ([10]_7)。
——《算法导论》
现在，我们让 (y) 逐渐增大，可以得到一系列模 (a) 等价类：([0]_a,[b]_a,[2b]_a,cdots)，而这些集合的并集就是 (ax+by) ((x,yinmathbb{Z})) 所有可能的取值。
这里以 (a=14,b=18) 为例打个表：
可以看到 (y={color{Red}{7}}) 时 (yb mod a) 的值为 (0)，进而有 ([{color{Red}{7}}b]_a=[0]_a)，即 (y={color{Red}{7}}) 时 (ax+by) 可能的取值与 (y=0) 时是相同的。此后 (yb mod a) 的值又会重复出现 (0,4,8,12,2,6,10)，都与前面的重复了，因此也不会引入任何新的 (ax+by) 的取值。
所以 ([0]_acup [4]_acup [8]_acup [12]_acup [2]_acup [6]_acup [10]_a) 就是 (ax+by) 所有可能的取值。
至于这个 ({color{Red}{7}}) 是怎么来的呢？根据上面给过程，({color{Red}{7}}) 是使得 (ybequiv 0 pmod a) 的最小正整数 (y)，即使得 (amid yb) 的最小正整数 (y)。
我们可以把 (a,b) 分解为 「各自特有的约数 (k_1,k_2)」 和 「公共约数 (gcd(a,b))」 两部分：(a=k_1gcd(a,b))，(b=k_2gcd(a,b)) ((k_1,k_2inmathbb{Z}))。
因为 (gcd(a,b)) 已经是 (a,b) 的最大公约数了，那么剩下的部分 (k_1,k_2) 里面肯定不存在任何公约数了，即 (k_1,k_2) 互质。这样，我们可以把 (amid yb) 改写为 (k_1gcd(a,b)mid yk_2gcd(a,b))，所以最小的满足该条件的 (y) 为 (k_1=dfrac{a}{gcd(a,b)})。
到这里，我们得出了求 (ax+by) 取值范围的一个方法：
再看一眼 ([0]_acup [4]_acup [8]_acup [12]_acup [2]_acup [6]_acup [10]_a)，你是否觉得有着某种规律？
排序一下：([0]_acup [2]_acup [4]_acup [6]_acup [8]_acup [10]_acup [12]_a)
你发现，这些数的间隔恰好都是 (2)，巧了，(gcd(a,b)=gcd(14,18)=2)。而且 (ax+by) 可能的取值恰好就是 (kgcd(a,b)) ((kinmathbb{Z})) 可能的取值。对于任意的 (a,b) 情况是否都如此呢？
所有 (ax+by) 显然一定是 (gcd(a,b)) 的整数倍，因此问题的关键就是所有 (gcd(a,b)) 的整数倍是不是都能写成 (ax+by)，即 (ax+by) 能否取到 (kgcd(a,b)) 的所有值。
因为 (displaystyle{ax+by:x,yinmathbb{Z}}=igcup_{i=0}^{a/gcd(a,b)-1}[ibmod a]_a)，所以只需证明 (ibmod a) ((0le i le frac{a}{gcd(a,b)} -1)) 能够取到 ([0,a-1]) 范围内的所有 (gcd(a,b)) 的倍数即可。
怎么证明？
(0le i le frac{a}{gcd(a,b)} -1) 范围内 (i) 的取值有 (frac{a}{gcd(a,b)}) 个，而 ([0,a-1]) 范围内 (gcd(a,b)) 的倍数也有 (frac{a}{gcd(a,b)}) 个。因此，只需证明 (ibmod a) 两两互不相同即可。
假设 (0le i le frac{a}{gcd(a,b)} -1) 范围内存在两个数 (i_1<i_2) 使得 (i_1bmod a=i_2bmod a)，即 (a|(i_2-i_1)b)
由 (0le i le frac{a}{gcd(a,b)} -1) 知 (i_2-i_1 le frac{a}{gcd(a,b)} -1)，这与 (frac{a}{gcd(a,b)}) 是使得 (amid yb) 的最小正整数 (y) 相矛盾！因此 (ibmod a) 两两互不相同，也就证明了
裴蜀定理
经过上述推导之后，裴蜀定理便是显然的了。
裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 (a,b) 和它们的最大公约数 (d)，关于未知数 (x) 和 (y) 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：
有解当且仅当 (m) 是 (d) 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 ((x,y)) 都称为裴蜀数，可用辗转相除法求得。
例如，(12) 和 (42) 的最大公因子是 (6)，则方程 (12x + 42y = 6) 有解。事实上有 ((-3) imes 12 + 1 imes 42 = 6) 及 (4 imes 12 + (-1) imes 42 = 6)。
特别来说，方程 (ax + by = 1) 有解当且仅当整数 (a) 和 (b) 互素。
裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义：(d) 其实就是最小的可以写成 (ax + by) 形式的正整数。这个定义的本质是整环中「理想」的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。
小凯的疑惑
来源：[NOIP2017 提高组] D1T1
题目描述
小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小 凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在 小凯无法准确支付的商品。
输入格式
两个正整数 (a) 和 (b)，它们之间用一个空格隔开，表示小凯中金币的面值。
输出格式
一个正整数 (N)，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。
分析
因为 (a,b) 互质，(gcd(a,b)=1)，所以 ({ax+by:x,yinmathbb{Z}}={kgcd(a,b):kinmathbb{Z}}=mathbb{Z})。但是这并没有用，因为这里的 (x,y) 可以取负数，而题中 (x,y) 只能取非负数。
形式上，本题需要求最大的不属于 ({ax+by:x,yinmathbb{N}}) 的正整数，这就需要我们分析 (ax+by) ((x,yinmathbb{N})) 的取值范围。
我们可以仿照前面的思想，记 ([x]_a^+ = [x]_a cap [x,+infty))（这个符号是我自己定义的新符号），那么
以 (a=5, b=7) 为例打个表：
这里贴一张大佬做的图：
从图中可以明显看出 (28) 上面的一个数就是不能支付的最昂贵价值。
严谨地讲就是：
因为 ({ax+by:x,yinmathbb{Z}}=mathbb{Z})，(displaystyle{ax+by:x,yinmathbb{Z}}=igcup_{i=0}^{a/gcd(a,b)-1}[ib]_a=igcup_{i=0}^{a-1}[ib]_a)，
所以 (displaystyleigcup_{i=0}^{a-1}[ib]_a =mathbb{Z})，所以 (displaystyleigcup_{i=0}^{a-1}left([ib]_acap[0,+infty) ight)=mathbb{N})
而 (displaystyle{ax+by:x,yinmathbb{N}} = igcup_{i=0}^{a-1}[ib]^+_a)（记为集合 (A)）
所以 (displaystylecomplement_{mathbb{N}} A=igcup_{i=0}^{a-1}left([ib]_acap[0,ib-1] ight)=igcup_{i=0}^{a-1}left([ib]_acap[0,ib-a] ight))
所以 (max(complement_{mathbb{N}} A)=(a-1)b-a=ab-a-b)。