放苹果+N的划分（青理工校赛J题） （动归）

放苹果

 POJ - 1664

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8
思路：设dp[i][j]为i个苹果要放到j个盘子中的方案数。
如果j>i，即盘子数多于苹果数，那么肯定会至少剩余j-i个盘子，所以dp[i][j]=dp[i][i];
如果j<=i，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];dp[i][j-1]表示j个盘子至少有一个为空，因为dp[i][j-1]中肯定包括dp[i][j-2].....所以dp[i][j-1]表示的是有盘子空余。dp[i-j][j]表示的是先将j个盘子每个放一个苹果，然后剩余的i-j个苹果放到j个盘子中的方案数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;
int dp[110][110];
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        scanf("%d%d",&m,&n);
        for(int i=0;i<=m;i++)
            dp[0][i]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            dp[i][1]=1;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=2;j<=n;j++)
            {
                if(j>i)
                    dp[i][j]=dp[i][i];
                else
                    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
            }
        }
        printf("%d
",dp[m][n]);
    }
return 0;
}

我觉得不太通透，网上一片博客用暴搜写的，解释的挺好：

思路：
首先对于给定的m和n，我们一步步的分析他们的大小关系，然后抽象出一个结论。
（1.1）如果m>n，也就是苹果的数量比盘子要多，则所有的可能性便是将所有苹果放在1个盘子的可能情况个数s1，2个盘子的可能情况个数s2...n个盘子的可能情况个数sn
（1.2）如果m<=n，也就是苹果的数量比盘子要少，则所有可能性便是将所有苹果放在1个盘子的可能情况个数s1,2个盘子的可能情况个数s2...m个盘子的可能情况个数sn
基于m和n的情况，我们便能理解main函数中的for循环和min(m,n)的含义了，后者其实就是找出苹果能分成的最大块数
然后看f函数，它的含义是求将m个苹果正好分到x个盘子里，有几种可能性。那么它一共会面临3种情况
（2.1）当m=x，也就是将m个苹果正好分到m个盘子里，那当然只有一种可能性了，就是一个盘子一个
（2.2）当m>x，也就是苹果的数量多于盘子的数量，这里的分析是解决本题的关键。
我们可以将m个苹果正好分到1个、2个、3个...x个盘子里，用一个循环变量i来表示这个数，那么我们在每个盘子占了一个位置之后，就会剩下m-i个苹果，那现在的问题不就转换成了剩下的这m-i个苹果正好分配到i个盘子里一共有集中可能分法么？于是我们的递归就出来了。
（2.3）当m<x，也就是将m个苹果正好分到x个盘子里，而且x还大于m——这明显是不可能的，所以为0。

#include <iostream>
using namespace std;

int f(int m,int x)
{//将数字m分成x个"条" 
    if(m < x) return 0;
    else if(m == x) return 1;
    else {
        if(x == 1) return 1;
        int ans = 0;
        for(int i = 1;i <= x;i++) 
            ans += f(m-x,i);
        return ans;
    }
}

int main()
{
    int m,n;
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        int ans = 0;
        for(int i = 1;i <= min(n,m);i++)
            ans += f(m,i);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

数的划分

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

状态转移方程为 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]; dp[i][j]相当于把i分为j份的方案数，比如把7分为3份，相当于在把6分为2份的基础上再加上一个1，还有就是每份都大于等于2的情况，就是先给每份分1，然后把剩下的i-j个分到j份里面。

/*
    f[i][j]表示将i划分成j份（每份至少为一）的方案数
    f[i][j]=f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j]
    又f[i-1][j-1]=f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j-1]
    ∴f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j] 
*/
#include <cstdio>
 
using namespace std;
 
int n, k, f[250][10];
 
int main()
{
    int i, j;
    
    scanf("%d%d",&n,&k);
    
    for(i=1;i<=n;i++)f[i][1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=k;j++)
            if(j<=i)f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j];
    printf("%d
",f[n][k]);
    return 0;
}