• 放苹果+N的划分(青理工校赛J题) (动归)


    放苹果

     POJ - 1664

    把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。

    Input

    第一行是测试数据的数目t(0 <= t <= 20)。以下每行均包含二个整数M和N,以空格分开。1<=M,N<=10。

    Output

    对输入的每组数据M和N,用一行输出相应的K。

    Sample Input

    1
    7 3
    

    Sample Output

    8
    思路:设dp[i][j]为i个苹果要放到j个盘子中的方案数。
    如果j>i,即盘子数多于苹果数,那么肯定会至少剩余j-i个盘子,所以dp[i][j]=dp[i][i];
    如果j<=i,dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];dp[i][j-1]表示j个盘子至少有一个为空,因为dp[i][j-1]中肯定包括dp[i][j-2].....所以dp[i][j-1]表示的是有盘子空余。dp[i-j][j]表示的是先将j个盘子每个放一个苹果,然后剩余的i-j个苹果放到j个盘子中的方案数。
     1 #include<iostream>
     2 #include<cstdio>
     3 #include<cstring>
     4 #include<algorithm>
     5 using namespace std;
     6 int m,n;
     7 int dp[110][110];
     8 int main()
     9 {
    10     int t;
    11     cin>>t;
    12     while(t--)
    13     {
    14         memset(dp,0,sizeof(dp));
    15         scanf("%d%d",&m,&n);
    16         for(int i=0;i<=m;i++)
    17             dp[0][i]=1;
    18         for(int i=1;i<=m;i++)
    19         {
    20             dp[i][1]=1;
    21         }
    22         for(int i=1;i<=m;i++)
    23         {
    24             for(int j=2;j<=n;j++)
    25             {
    26                 if(j>i)
    27                     dp[i][j]=dp[i][i];
    28                 else
    29                     dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
    30             }
    31         }
    32         printf("%d
    ",dp[m][n]);
    33     }
    34 return 0;
    35 }

    我觉得不太通透,网上一片博客用暴搜写的,解释的挺好:

    思路:
    首先对于给定的m和n,我们一步步的分析他们的大小关系,然后抽象出一个结论。
    (1.1)如果m>n,也就是苹果的数量比盘子要多,则所有的可能性便是将所有苹果放在1个盘子的可能情况个数s1,2个盘子的可能情况个数s2...n个盘子的可能情况个数sn
    (1.2)如果m<=n,也就是苹果的数量比盘子要少,则所有可能性便是将所有苹果放在1个盘子的可能情况个数s1,2个盘子的可能情况个数s2...m个盘子的可能情况个数sn
    基于m和n的情况,我们便能理解main函数中的for循环和min(m,n)的含义了,后者其实就是找出苹果能分成的最大块数
    然后看f函数,它的含义是求将m个苹果正好分到x个盘子里,有几种可能性。那么它一共会面临3种情况
    (2.1)当m=x,也就是将m个苹果正好分到m个盘子里,那当然只有一种可能性了,就是一个盘子一个
    (2.2)当m>x,也就是苹果的数量多于盘子的数量,这里的分析是解决本题的关键。
    我们可以将m个苹果正好分到1个、2个、3个...x个盘子里,用一个循环变量i来表示这个数,那么我们在每个盘子占了一个位置之后,就会剩下m-i个苹果,那现在的问题不就转换成了剩下的这m-i个苹果正好分配到i个盘子里一共有集中可能分法么?于是我们的递归就出来了。
    (2.3)当m<x,也就是将m个苹果正好分到x个盘子里,而且x还大于m——这明显是不可能的,所以为0。
    
    
     1 #include <iostream>
     2 using namespace std;
     3 
     4 int f(int m,int x)
     5 {//将数字m分成x个"条" 
     6     if(m < x) return 0;
     7     else if(m == x) return 1;
     8     else {
     9         if(x == 1) return 1;
    10         int ans = 0;
    11         for(int i = 1;i <= x;i++) 
    12             ans += f(m-x,i);
    13         return ans;
    14     }
    15 }
    16 
    17 int main()
    18 {
    19     int m,n;
    20     int t;
    21     cin>>t;
    22     while(t--)
    23     {
    24         cin>>m>>n;
    25         int ans = 0;
    26         for(int i = 1;i <= min(n,m);i++)
    27             ans += f(m,i);
    28         cout<<ans<<endl;
    29     }
    30     return 0;
    31 }

    数的划分

    将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
    例如:n=7,k=3,下面三种划分方案被认为是相同的。
    1 1 5

    1 5 1

    5 1 1
    问有多少种不同的分法。

    状态转移方程为 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]; dp[i][j]相当于把i分为j份的方案数,比如把7分为3份,相当于在把6分为2份的基础上再加上一个1,还有就是每份都大于等于2的情况,就是先给每份分1,然后把剩下的i-j个分到j份里面。

    /*
        f[i][j]表示将i划分成j份(每份至少为一)的方案数
        f[i][j]=f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j]
        又f[i-1][j-1]=f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j-1]
        ∴f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j] 
    */
    #include <cstdio>
     
    using namespace std;
     
    int n, k, f[250][10];
     
    int main()
    {
        int i, j;
        
        scanf("%d%d",&n,&k);
        
        for(i=1;i<=n;i++)f[i][1]=1;
        for(i=2;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=k;j++)
                if(j<=i)f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j];
        printf("%d
    ",f[n][k]);
        return 0;
    }


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