HDU 4370 0 or 1 (01规划)【Dijkstra】||【spfa】

<题目链接>

题目大意：

一个n*n的01矩阵，满足以下条件

1.X12+X13+...X1n=1
2.X1n+X2n+...Xn-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).

另给出一个矩阵C，求∑Cij*Xij(1<=i,j<=n)的最小值。

解题分析：

显然，题目给的是一个0/1规划模型。

解题的关键在于如何看出这个模型的本质。

3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：

1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1

2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1

3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度

于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。

最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。

以上情况设为A

非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）

漏了如下的情况B：

从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。

容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。

由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。

因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）

故最终答案为min(path,c1+c2)。

Dijkstra代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N =305;
#define INF 0x3f3f3f3f
int n;
int cost[N][N];
int dis[N];
bool vis[N];

void dij(int s){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=n;i++){         //初始化
        if(i==s)dis[i]=INF;    //将s的dis值初始化为INF,这样就可以从其它点开始松弛最短路，从而得到s的闭环长度,因为其它点cur的dis初始化为cost[s][cur]。所以用s到cur的距离，再加上cur到s的最短距离，确实是s的最小非自环
        else if(cost[s][i]!=INF)dis[i]=cost[s][i];
        else dis[i]=INF;
    }
    for(int k=1;k<=n;k++){
        int mn=INF,cur;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!vis[i]&&dis[i]<mn){  
                mn=dis[i];
                cur=i;
            }
        }
        vis[cur]=true;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!vis[i]&&dis[i]>dis[cur]+cost[cur][i]){
                dis[i]=dis[cur]+cost[cur][i];
            }
        }
    }
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                scanf("%d",&cost[i][j]);
            }
        }
        dij(1);
        int loop1,loopn,dist;   //loop1为1的最短非自环，loop2为n的最短非自环
        loop1=dis[1],dist=dis[n];   
        dij(n);
        loopn=dis[n];
        int ans=min(dist,loop1+loopn);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

spfa代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=330;
int cost[MAXN][MAXN];//保存路径长度的邻接矩阵
int dist[MAXN];
int que[MAXN];//注意队列的循环利用，建成循环队列
bool vis[MAXN];//是否在队列中标记

void SPFA(int start,int n)
{
    int front=0,rear=0;
    for(int v=1;v<=n;v++)//初始化
    {
        if(v==start)//由于要找start的闭环，所以dist[start]设为INF，且不入队
        {
            dist[v]=INF;
            vis[v]=false;
        }
        else if(cost[start][v]!=INF)
        {
            dist[v]=cost[start][v];
            que[rear++]=v;
            vis[v]=true;
        }
        else//即dist[start][v]==INF情况，对本题没有这种情况
        {
            dist[v]=INF;
            vis[v]=false;
        }
    }

    while(front!=rear)//注意这个条件是不等，因为是循环队列
    {
        int u=que[front++];
        for(int v=1;v<=n;v++)
        {
            if(dist[v]>dist[u]+cost[u][v])
            {
                dist[v]=dist[u]+cost[u][v];
                if(!vis[v])//不在队列
                {
                    vis[v]=true;
                    que[rear++]=v;
                    if(rear>=MAXN) rear=0;//循环队列
                }
            }
        }
        vis[u]=false;
        if(front>=MAXN)front=0;
    }

}
int main(){
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&cost[i][j]);
        SPFA(1,n);
        int ans=dist[n];//1到n的最短路
        int loop1=dist[1];//1的闭环长度
        SPFA(n,n);
        int loopn=dist[n];//n的闭环长度
        ans=min(ans,loop1+loopn);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

2018-10-14