poj2184 Cow Exhibition【01背包】+【负数处理】+（求两个变量的和最大）

题目链接：https://vjudge.net/contest/103424#problem/G

题目大意：

给出N头牛，每头牛都有智力值和幽默感，然后，这个题目最奇葩的地方是，它们居然可以是负数！！现在叫你求出其中的牛中，智力值总数和幽默感总数加起来最大的值，当然，智力值的总数必须大于等于零，幽默感总数也是。

解题思路：

转载于>>>大牛博客

对于每头牛，我们有两种选择，要么选，要么不选。看到这，就会觉得跟01背包很像，但是有 2 个变量来描述此状态的特征，智力，幽默感，并且他们可能是负数的。 
如果此题选择dp来解，我们要想办法把它转换成01背包。

下面转换01背包的方法。 
首先，下面的模板是 一维数组解背包问题 。

dp[i] = max(dp[i],dp[i-w[i]]+v[i])

首先，针对2个变量，智力，幽默感，我们定义i是前i头牛的智力总和，dp[i]存储的是此时智力总和为i时，幽默感总数的最大值。有人或许会问，题目叫我们求智力和幽默感的总数最大值啊，这dp最后得出的只是幽默感总数的最大值啊？没关系，求出整个dp后，将每个d[i] 和 i相加 看谁大就行了，别忘了，i就是智力总和。 

这一步是锁定变量。

开始下一步前，我们先来定义一下dp数组的大小吧。 
最多有100头牛，每个牛的智力范围在 -1000 – 1000 之间， 
那他们的总和就是 落在 -1000*100 – 100*1000这个区间了里，也就是我们的dp要开100*1000*2这么大了。然后模仿坐标系，在100*1000*2这些数里找一个原点，自然的，这个是对称的，很明显远点是100*1000也就是100000了。大于100000的，智力总和大于0，小于100000，智力总和小于0.

当然，这么大的数组我们不可能每个都访问到，这就要做个标记了，既然这里是求最大值，我们就把数组初始化为一个非常小的整数，inf = -100000000.

好了，接下来是关键的负数的处理了。负数的处理很明显和正数不同，但他们都是dp，只不过，处理方式发生了变化。

s[i] 第i头牛的智力
f[i]第i头牛的幽默感
for i ：1 to N    //表示第几头牛
    if(智力是负数）{
        //处理
    }
    else if(智力是正数或者0){
        //处理
    }

先是，正数，每头牛有选与不选，仿照01背包

for(int v = 100*1000*2;v>=s[i];v--)
    if(dp[v-s[i]]>inf)
        dp[v] = max(dp[v],dp[v-s[i]]+f[i])

如果知道01背包的优化，上面就很简单了，逆序循环，保证每一个状态都能访问到上一个状态。

v = 5;
dp [5] = max(dp[5],dp[5-s[i]]+f[i])

s[i] > 0,5-s[i]很明显是小于 5的，此时，dp[5-s[i]]保存的还是上一个状态的值，所以我们可以放心大胆的用。

然后是判断条件,dp[v-s[i]]>inf,记得一开始我们把表示智力值总和的数组的初始化为inf吗？如果，dp[v-s[i]]<=inf,这意味着没有这个智力值没有用到，也就是dp[v] 这个是没有dp[v-s[i]]这个状态，既然没有我们就无视。

 来看负数的

for(int v = s[i];v<100*1000*2;v++)
    if(dp[v-s[i]]>inf)
        dp[v] = max(dp[v],dp[v-s[i]]+f[i])

仔细看会发现，其实就循环条件不同，为什么这样既可以呢？ 
其实，可以参考01背包的空间优化和完全背包的空间优化。

不管是正数还是负数，我们都推,dp[v]时都要保证，它是由上一个状态的得来的。对于正数而言，上一个状态的智力总和是比当前状态小的。相反，对于负数而言，上一个状态的智力总和是比当前状态大的，s[i] < 0，v-s[i] > v，如果我们还是逆序循环的话，推dp[v]时，比他大的d[v-s[i]]早就改变了，不是上一个状态，那我们的递推就出现问题了，针对这个问题，我们正向循环就可以了。

最后，dp完后

来一个循环

ans = 0;
for i:100*1000 to 100*1000*2     智力总和要正数嘛
    if(dp[i]>=0)
        ans = max(ans,i - 100*1000 + dp[i]);

i-100*1000就等于此时的智力值总和了，因为我们让数组发生偏移了。

AC代码如下：

#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
#include <algorithm>  
using namespace std;

int dp[200005];
const int inf = 1 << 30;

int main()
{
    int n, s[105], f[105], i, j, ans;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        for (i = 0; i <= 200000; i++)
            dp[i] = -inf;
        dp[100000] = 0;
        for (i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d%d", &s[i], &f[i]);
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (s[i]<0 && f[i]<0)
                continue;
            if (s[i]>0)
            {
                for (j = 200000; j >= s[i]; j--)//如果s[i]为正数，那么我们就从大的往小的方向进行背包  
                    if (dp[j - s[i]]>-inf)
                        dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i]] + f[i]);               
            }
            else
            {
                for (j = s[i]; j <= 200000 + s[i]; j++)//为负数则需要反过来  
                    if (dp[j - s[i]]>-inf)
                        dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i]] + f[i]);
            }
        }
        ans = -inf;
        for (i = 100000; i <= 200000; i++)//因为区间100000~200000才是表示的整数，那么此时的i就是之前背包中的s[i]，如果此时dp[i]也就
                                          //是f[i]大于等于0的话，我们再加上s[i]（此时为i），然后减去作为界限的100000，就可以得到答案  
        {
            if (dp[i] >= 0)
                ans = max(ans, dp[i] + i - 100000);
        }
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

2018-04-30