POJ 3280 Cheapest Palindrome (区间DP) 经典

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题目大意：

一个由小写字母组成的字符串，给出字符的种类，以及字符串的长度，再给出添加每个字符和删除每个字符的代价，问你要使这个字符串变成回文串的最小代价。

解题分析：

一道区间DP的好题。因为本题字符串的长度最大为2e3，所以考虑$O(n^2)$直接枚举区间的两个端点，然后对枚举的区间进行状态转移，大体上有三种转移情况：

$dp[l][r]$表示$[l,r]$为回文串的最小代价

对于区间$[l,r]$，当$str[l]==str[r]$时，$dp[l][r]=dp[l+1][r-1]$

对于$dp[l+1][r]$情况，即$[l+1,r]$为回文串，$dp[l][r]=dp[l+1][r]+min($在$r+1$添加$str[l]$,在$l$删除$str[l])$的代价

对于$dp[l][r-1]$的情况，即$[l,r-1]$为回文串，$dp[l][r]=dp[l][r-1]+min($在$l-1$添加$str[r]$,在$r$删除$str[r])$的代价

记忆化搜索

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2e3+5;
int n,m,dp[N][N],add[26],del[26];
char str[N];

int DP(int l,int r){
    if(l>=r)return 0;
    if(dp[l][r]!=-1)return dp[l][r];
    dp[l][r]=1e9;
    if(str[l]==str[r])dp[l][r]=DP(l+1,r-1);
    dp[l][r]=min(dp[l][r],DP(l+1,r)+min(add[str[l]-'a'],del[str[l]-'a']));
    dp[l][r]=min(dp[l][r],DP(l,r-1)+min(add[str[r]-'a'],del[str[r]-'a']));
    return dp[l][r];
}

int main(){ 
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        char c;cin>>c;
        int pos=c-'a';
        scanf("%d%d",&add[pos],&del[pos]);
    }
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    printf("%d
",DP(1,m));
}

递推DP

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2e3+5;
int n,m,dp[N][N],add[26],del[26];
char str[N];

int main(){ 
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        char c;cin>>c;
        int pos=c-'a';
        scanf("%d%d",&add[pos],&del[pos]);
    }
    //memset(dp,0x3f,sizeof(dp));    //因为下面的[i+1,j-1]可能会出现j<i的情况，所以不能这样初始化为无穷
    for(int i=m;i>=1;i--){
        dp[i][i]=0;
        for(int j=i+1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=1e9;  
            if(str[i]==str[j])dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j]+min(add[str[i]-'a'],del[str[i]-'a']));
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+min(add[str[j]-'a'],del[str[j]-'a']));
        }
    }
    cout<<dp[1][m]<<endl;
}