算法：汉诺塔问题

汉诺塔问题，是心理学实验研究常用的任务之一。当然我们是学计算机的，因此我们尝试用计算机去求解它。

例题

Openjudge6261 汉诺塔问题

描述
有一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由n个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到中间的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。这就是著名的汉诺塔问题。

假定圆盘从小到大编号为1，2，3，……

输入
输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。
整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

输出
输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。
每次移动的记录为例如 a->3->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。

样例输入

2 a b c

样例输出

a->1->c
a->2->b
c->1->b

汉诺塔问题

汉诺塔问题的解决算法是一种经典的分治算法，而分治算法最重要的三个步骤：

1. 分解：如果说我们要将num个盘子从原柱子l通过过渡柱子mid移动到目标柱子r，那么我们可以先把上面的(num - 1)个盘子从原柱子l移动到过渡柱子mid，之后再把编号num的这个盘子移动到目标柱子r上，最后再把那(num - 1)个盘子从过渡柱子mid移动到目标柱子r，就成功了。
2. 解决：用递归分别再去解决子问题并输出。（边界条件：当只有一个盘子既num == 1时，直接输出就好了）。
3. 合并：递归回来的就是结果了，不用再合并。

简而言之，就是每次我们把第num个盘子单独看成一个整体，剩下(num - 1)个盘子看成一个整体，之后对这两个整体分别去进行移动，使其到达目标位置。

最后算一下时间复杂度，这里稍微有些难算。

假设i个盘子从一根柱子移动到另一根柱子需要step(i)步

对于一个单独的塔，程序会进行以下操作：

1. 将上面的(n - 1)个盘子移动到过渡柱子，次数为step(n - 1)。
2. 将第n个盘子移动到目标柱子，次数为1。
3. 将过渡柱子上的(n - 1)个盘子移动到目标柱子，次数为step(n - 1)。

则可以得到递推式
step(n) = 2 * step(n - 1) + 1

之后不停地递推下去，就会得到
step(n) = 2^n * step(0) + 2^(n - 1) + 2^(n - 2) + ...... + 2^1 + 2^0

又因为0个盘子根本不用移，所以step(0) = 0

所以step(n) = 2^(n - 1) + 2^(n - 2) + ...... + 2^1 + 2^0

之后用等比数列的公式就可以推出：step(n) = 2ⁿ - 1

我们发现移动次数为2ⁿ - 1，实际上这也是汉诺塔问题最少的移动次数。所以最后得出解决汉诺塔问题的算法时间复杂度为O(2ⁿ)。

代码

# include <cstdio>
# include <iostream> 
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>

using namespace std;

int n;
char a, b, c;

// hanoi(num, l, mid, r)表示需要将num个盘子从柱子l通过柱子mid移动到柱子r。
void hanoi(int num, char l, char mid, char r)
{
	if (num == 1) printf("%c->%d->%c
", l, num, r);
	else {
		hanoi(num - 1, l, r, mid);
		printf("%c->%d->%c
", l, num, r);
		hanoi(num - 1, mid, l, r);
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	cin >> a >> b >> c;
	hanoi(n, a, c, b); // 这里因为题目中是让所有盘子从左面的柱子移动到中间的柱子，既从a到b。
	return 0;
}