题目描述
Alice和Bob在图论课程上学习了最大流和最小费用最大流的相关知识。 最大流问题：给定一张有向图表示运输网络，一个源点S和一个汇点T，每条边都有最大流量。
一个合法的网络流方案必须满足：
(1)每条边的实际流量都不超过其最大流量且非负；
(2)除了源点S和汇点T之外，对于其余所有点，都满足该点总流入流量等于该点总流出流量；而S点的净流出流量等于T点的净流入流量，这个值也即该网络流方案的总运输量。
最大流问题就是对于给定的运输网络，求总运输量最大的网络流方案。 上图表示了一个最大流问题。对于每条边，右边的数代表该边的最大流量，左边的数代表在最优解中，该边的实际流量。需要注意到，一个最大流问题的解可能不是唯一的。
对于一张给定的运输网络，Alice先确定一个最大流，如果有多种解，Alice可以任选一种；之后Bob在每条边上分配单位花费（单位花费必须是非负实数），要求所有边的单位花费之和等于P。
总费用等于每一条边的实际流量乘以该边的单位花费。需要注意到，Bob在分配单位花费之前，已经知道Alice所给出的最大流方案。现茌Alice希望总费用尽量小，而Bob希望总费用尽量大。我们想知道，如果两个人都执行最优策略，最大流的值和总费用分别为多少。
输入输出格式
输入格式：
第一行三个整数N，M，P。N表示给定运输网络中节点的数量，M表示有向边的数量，P的含义见问题描述部分。为了简化问题，我们假设源点S是点1，汇点T是点N。
接下来M行，每行三个整数A，B，C，表示有一条从点A到点B的有向边，其最大流量是C。
输出格式：
第一行一个整数，表示最大流的值。第二行一个实数，表示总费用。建议选手输出四位以上小数。
输入输出样例
说明
【样例说明】
对于Alice，最大流的方案是固定的。两条边的实际流量都为10。
对于Bob，给第一条边分配0.5的费用，第二条边分配0.5的费用。总费用为：10*0.5+10*0.5=10。可以证明不存在总费用更大的分配方案。
【数据规模和约定】
对于20%的测试数据：所有有向边的最大流量都是1。
对于100%的测试数据：N < = 100，M < = 1000。
对于l00%的测试数据：所有点的编号在I..N范围内。1 < = 每条边的最大流量 < = 50000。1 < = P < = 10。给定运输网络中不会有起点和终点相同的边。
题解：
这是一个假的费用流，不要被名字骗啦，其实这是一个最大流的题目，思考一下，想要获得最大值，我们只需要让全部的P在最长的边上就可以了（仔细想想，我有最长边一定是最长边上*p），但是到达最大流我们可能经过多个途径，我们需要做的是找到一条路
，使其中最长的边最短，这就需要二分了，我们二分最长的那个边，使其最短。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=1000+10;
int n,m,p;//点数、边数
int sp,tp;//原点、汇点
struct node
{
int v,next;
double cap;
}mp[MAXN*10];
int pre[MAXN],dis[MAXN],cur[MAXN];//cur为当前弧优化，dis存储分层图中每个点的层数（即到原点的最短距离），pre建邻接表
int cnt=0;
double ans=0;
struct {
int x,y;
double z;
}edge[MAXN];
void init()//不要忘记初始化
{
cnt=0;
memset(pre,-1,sizeof(pre));
}
void add(int u,int v,double w)//加边
{
mp[cnt].v=v;
mp[cnt].cap=w;
mp[cnt].next=pre[u];
pre[u]=cnt++;
mp[cnt].v=u;
mp[cnt].cap=0;
mp[cnt].next=pre[v];
pre[v]=cnt++;
}
bool bfs()//建分层图
{
memset(dis,-1,sizeof(dis));
queue<int>q;
while(!q.empty())
q.pop();
q.push(sp);
dis[sp]=0;
int u,v;
while(!q.empty())
{
u=q.front();
q.pop();
for(int i=pre[u];i!=-1;i=mp[i].next)
{
v=mp[i].v;
if(dis[v]==-1&&mp[i].cap>0)
{
dis[v]=dis[u]+1;
q.push(v);
if(v==tp)
break;
}
}
}
return dis[tp]!=-1;
}
double dfs(int u,double cap)//寻找增广路
{
if(u==tp||cap==0)
return cap;
double res=0,f;
for(int &i=cur[u];i!=-1;i=mp[i].next)
{
int v=mp[i].v;
if(dis[v]==dis[u]+1&&(f=dfs(v,min(cap-res,mp[i].cap)))>0)
{
mp[i].cap-=f;
mp[i^1].cap+=f;
res+=f;
if(res==cap)
return cap;
}
}
if(res==0)
dis[u]=-1;
return res;
}
double dinic()
{
double ans=0;
while(bfs())
{
for(int i=0;i<=tp;i++)
cur[i]=pre[i];
ans+=dfs(sp,inf);
}
return ans;
}
bool check(double x)
{
init();
for (int i = 0; i <m ; ++i) {
add(edge[i].x,edge[i].y,min(edge[i].z,x));
}
sp=1,tp=n;
double sum=dinic();
return sum==ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
init();
double MAX=0;
for (int i = 0; i <m ; ++i) {
scanf("%d%d%lf",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].z);
add(edge[i].x,edge[i].y,edge[i].z);
MAX=max(MAX,edge[i].z);
}
sp=1;tp=n;
ans=dinic();
printf("%.0lf
",ans);
double l=0,r=500001,mid;
while (r-l>(1e-7))
{
mid=(l+r)/2;
if(check(mid))
{
r=mid;
} else
{
l=mid;
}
}
printf("%lf
",mid*p);
return 0;
}