一本通1268：【例9.12】完全背包问题（浅谈完全背包问题）

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一道完全背包问题的模板题，和01背包问题一样，还是拥有两种思路

(Solution 1)

依然是一个朴实无华的二维数组

状态的表示：(f[i][j])表示前(i)个总重量不超过(j)的最大价值

状态的转移：(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+c[i]) (w[i]<=j))
注：(w[i])表示第(i)个物品的重量，(c[i])表示第(i)个物品的价值，(j)表示当前的最大重量

最优解：(f[n][m])
注：(n)指物体数量，(m)指最大重量

(Code)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int m,n;
int w[31],c[31];
int f[201][201];
int main(){
	read(m);read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(w[i]);
		read(c[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(j<w[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
			else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+c[i]); 
		}
	}
	printf("max=%d",f[n][m]);      //"max="是题目中的输出格式要求
	return 0;
}

(Solution 2)

依然可以用一维数组来进行空间优化

状态的表示：(f[i])表示不超过(i)重量的最大价值

状态的转移：(f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]))
注：(w[i])表示第i个物品的重量，(c[i])表示第i个物品的价值，(j)表示当前的最大重量

最优解：(f[m])
注：(m)指最大重量

(Code)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
inline void read(int &x){
	int f=1;
	char ch=getchar();
	x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int m,n;
int w[31],c[31];
int f[201];
int main(){
	read(m);read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(w[i]);
		read(c[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=w[i];j<=m;j++){
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
		}
	}
	printf("max=%d",f[m]);      //"max="是题目中的输出格式要求
	return 0;
}

这里和(01)背包唯一不同的是，内层循环变成了这个：

for(int j=1;j<=m;j++)

和这个

for(int j=w[i];j<=m;j++)

在(01)背包里，(j)是从最大重量(m)进行倒序遍历到(w[i])的。而这里，是从(w[i])正序遍历到最大重量(m)
这便是(01)背包和完全背包在一维数组实现上的唯一不同之处
原因还是来源于本质区别：

• (01)背包是只有选和不选两个子问题
• 完全背包是有选和不选两个子问题，但是选里边还有选几个的若干子问题

所以说，考虑“再选一个第(i)种物品”的方案时，有可能已经选过一个第(i)件物品，当前行的(f[j])需要用到前面的的结果。

即由于一个物品可以被选择多次，更新(f[i][j])时，(f[i][j-w[i]])可能因为放入物品i而发生变化。所以说需要正序循环。