欧拉定理+欧拉筛选法

一、概念

互质关系

如果两个整数（或者两个以上的整数）的最大公约数是1，则称他们为互质。也就是说两个整数，除了1以外，没有其它的最大公约数了，这两个整数就叫做互质关系。
比如说7，11他们的最大公约数只有1，所以他们互质；8，10他们的最大公约数为1，2，所以这两数不是互质关系。

欧拉函数

欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，称为欧拉函数
比如说当n=8时，与8能形成互质关系的数有4个，分别是1，3，5，7，所以φ(8)=4
具体φ(n)函数的计算公式，可以分为以下四种情况：

情况一： 当n=1，φ(1)=1

因为1与任何整数都是互质关系，所以当n=1时，φ(1)=1

情况二：当n为质数，φ(n)=n-1

因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系，所以当n为质数时，φ(n)=n-1 。
比如说n=3时，1，2都跟他是互质关系， n=7时，1，2，3，4，5，6都跟他是互质关系。

情况三：n = p^k (p为质数，k为指数，且大于等于1)，n是质数的k次方，则φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k（1 - 1/p）

比如：φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4
φ(27) = φ(3^3) = 3^3(1 - 1/3) = 18

情况四： n是两个互质的整数之积，如：n = p1 * p1，则 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

比如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

二、定理

同余定理

给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能够被n整除，即(a-b)/n得到一个整数，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(mod n)。这就是同余定理。
例如：26≡2(mod 12)， 26%12 余2， 2%12余2， 26-2/12 = 0，所以26与2对模12同余

欧拉定理

在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素（即），则

即与1在模n下同余；为欧拉函数。

首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以。计算：，而。与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算的个位数，实际是求被10除的余数。7和10互素，且。由欧拉定理知。所以        //欧拉函数φ(n)的作用就是把a^p表示成a^φ(n)*x+y
一般地，在简化幂的模运算的时候，（当a和n互素） 我们要对a的指数取模：

当，则。

三、求欧拉函数

一、直接法

原理：

Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

//直接法
int euler(int n)
{
  int res=n,a=n;
  for(int i=2;i*i<=a;i++)
  {
    if(a%i==0)
    {
      res=res/i*(i-1);
      while(a%i==0)
        a=a/i;
    }
  }
  if(a>1)
    res=res/a*(a-1);
    return res;
  }

 

二、欧拉筛选法

i表示当前做到的这个数，prime[j]表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是i*prime[j]。若prime[j]在这个合数里只出现一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在这个合数里出现了不止一次（i%prime[j]=0），也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，

那么根据公式，φ(i * prime[j])=φ(i) *prime[j]。复杂度为O(n)。其中得到的prime[n]是1~n的所有质数

void euler(int n)
{
    phi[1]=1;//1要特判 
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (flag[i]==0)//这代表i是质数 
        {
            prime[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//经典的欧拉筛写法 
        {
            flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
                break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
        }
    }
}

三、另一种更简洁的筛选法、推荐

const int maxn = 1e6+10;
int prim[maxn], w[maxn], cnt = 0;//prim[i]起标记作用，prim[i]==0表示i是质数，注意这里把1也标记成了质数
int x[maxn];//x[i]表示偶数是i的符合条件的两个质数是x[i]和i-x[i];
void init()
{
  memset(prim, false, sizeof(prim));
  prim[1]=1;//1不是素数
  for(int i = 2; i < maxn; i++)
  {
    if(prim[i]) //判断i是否为偶数
      continue;
    w[cnt++] = i;//w存质数
    for(int j = i << 1; j < maxn; j+=i)//把所有质数的倍数标记
     prim[j] = true;
  }
  
}

 欧拉公式的延伸：小于n的且与n互质的数的和是euler(n)*n/2

来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012861385/article/details/24271435

链接：https://www.jianshu.com/p/9007f61e27a8
來源：简书