• 【NOI2005】聪聪和可可 概率与期望 记忆化搜索


    1415: [Noi2005]聪聪和可可

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    Description

    Input

    数据的第1行为两个整数N和E,以空格分隔,分别表示森林中的景点数和连接相邻景点的路的条数。 第2行包含两个整数C和M,以空格分隔,分别表示初始时聪聪和可可所在的景点的编号。 接下来E行,每行两个整数,第i+2行的两个整数Ai和Bi表示景点Ai和景点Bi之间有一条路。 所有的路都是无向的,即:如果能从A走到B,就可以从B走到A。 输入保证任何两个景点之间不会有多于一条路直接相连,且聪聪和可可之间必有路直接或间接的相连。

    Output

    输出1个实数,四舍五入保留三位小数,表示平均多少个时间单位后聪聪会把可可吃掉。

    Sample Input

    【输入样例1】
    4 3
    1 4
    1 2
    2 3
    3 4
    【输入样例2】
    9 9
    9 3
    1 2
    2 3
    3 4
    4 5
    3 6
    4 6
    4 7
    7 8
    8 9

    Sample Output

    【输出样例1】
    1.500
    【输出样例2】
    2.167

    HINT

    【样例说明1】
    开始时,聪聪和可可分别在景点1和景点4。
    第一个时刻,聪聪先走,她向更靠近可可(景点4)的景点走动,走到景点2,然后走到景点3;假定忽略走路所花时间。
    可可后走,有两种可能:
    第一种是走到景点3,这样聪聪和可可到达同一个景点,可可被吃掉,步数为1,概率为 。
    第二种是停在景点4,不被吃掉。概率为 。
    到第二个时刻,聪聪向更靠近可可(景点4)的景点走动,只需要走一步即和可可在同一景点。因此这种情况下聪聪会在两步吃掉可可。
    所以平均的步数是1* +2* =1.5步。


    对于所有的数据,1≤N,E≤1000。
    对于50%的数据,1≤N≤50。

    Solution

    设F[i][j]为猫在i点,鼠在j点,猫鼠相遇的期望时间。

    一般是考虑倒着来做的,但这题倒着并不好做,因此考虑记忆化搜索。

    设p[i][j]为猫在i点,鼠在j点,猫下一个时刻会到达的点。

    分情况讨论:

    1.若p[i][j] == j或p[p[i][j]][j] == j,F[i][j] = 12.设t为p[p[i][j]][j],F[i][j] = (F[t][j]+ΣF[t][k])/(cnt+1),cnt为j点能直接到达的点的数目。

    Code

     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstdlib>
     3 #include <cstring>
     4 #include <string>
     5 #include <algorithm>
     6 #include <queue>
     7 
     8 using namespace std;
     9 
    10 #define REP(i, a, b) for (int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
    11 #define REP_EDGE(i, a) for (int i = (a); i != -1; i = e[i].nxt)
    12 #define mset(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
    13 const int MAXN = 1e3+10;
    14 int n, m;
    15 struct Edge
    16 {
    17     int v, nxt;
    18     Edge(int v = 0, int nxt = 0): v(v), nxt(nxt) {}
    19 }e[MAXN*2];
    20 int head[MAXN], label;
    21 queue <int> q;
    22 int dist[MAXN], p[MAXN][MAXN];
    23 bool vis[MAXN];
    24 double f[MAXN][MAXN];
    25 
    26 void ins(int u, int v) { e[++label] = Edge(v, head[u]), head[u] = label; }
    27 
    28 void SPFA(int s)
    29 {
    30     mset(dist, -1);
    31     q.push(s), dist[s] = 0, vis[s] = 1, p[s][s] = 0;
    32     while (!q.empty())
    33     {
    34         int u = q.front(); vis[u] = 0, q.pop();
    35         REP_EDGE(i, head[u])
    36         {
    37             int v = e[i].v;
    38             if (dist[v] == -1 || dist[v] >= dist[u]+1)
    39             {
    40                 if (dist[v] == -1 || dist[v] > dist[u]+1 || (dist[v] == dist[u]+1 && p[s][v] > p[s][u]))
    41                 {
    42                     p[s][v] = p[s][u];
    43                     if (!p[s][v]) p[s][v] = v;
    44                 }
    45                 dist[v] = dist[u]+1;
    46                 if (!vis[v]) vis[v] = 1, q.push(v);
    47             }
    48         }
    49     }
    50 }
    51 
    52 double dfs(int u, int v)
    53 {
    54     if (u == v) return 0;
    55     if (p[u][v] == v || p[p[u][v]][v] == v) return 1; 
    56     if (f[u][v]) return f[u][v];
    57     int temp = p[p[u][v]][v], cnt = 1; 
    58     double ret = dfs(temp, v);
    59     REP_EDGE(i, head[v]) cnt ++, ret += dfs(temp, e[i].v);
    60     ret /= cnt, ret += 1.0;
    61     return f[u][v] = ret;
    62 }
    63 
    64 int main()
    65 {
    66     int S, T, u, v;
    67     scanf("%d %d %d %d", &n, &m, &S, &T);
    68     REP(i, 1, n) head[i] = -1; label = -1;
    69     REP(i, 1, m) scanf("%d %d", &u, &v), ins(u, v), ins(v, u);
    70     REP(i, 1, n) SPFA(i);
    71     printf("%.3lf
    ", dfs(S, T));
    72     return 0;
    73 }
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