后缀数组详解

什么是后缀数组

后缀数组是处理字符串的有力工具 —罗穗骞

附上论文链接：https://wenku.baidu.com/view/ed1be61e10a6f524ccbf85fd?pcf=2

https://www.cnblogs.com/thmyl/p/6296648.html

个人理解：后缀数组是让人蒙逼的有力工具！

就像上面那位大神所说的，后缀数组可以解决很多关于字符串的问题，

注意：后缀数组并不是一种算法，而是一种思想。

实现它的方法主要有两种：倍增法 $O (n l o g n)$

其中倍增法除了仅仅在时间复杂度上不占优势之外，其他的方面例如编程难度，空间复杂度，常数等都秒杀DC3法

我的建议：深入理解倍增法，并能熟练运用（起码8分钟内写出来&&没有错误）。DC3法只做了解，吸取其中的精髓；

但是由于本人太辣鸡啦，所以本文只讨论倍增法

SA[] 第几名是谁

后缀数组：后缀数组 SA 是一个一维数组，它保存 1..n 的某个排列 SA[1] ，SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i]) < Suffix(SA[i+1])，1≤i<n 。也就是将 S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入 SA 中。

Rank[] 谁是第几名名次数组：名次数组 Rank[i]保存的是 Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次 ” 。

r[]:原始数据j当前字符串的长度,每次循环根据2个j长度的字符串的排名求得2j长度字符串的排名.

y[]:指示长度为2j的字符串的第二关键字的排序结果,通过存储2j长字符串的第一关键字的下标进行指示.

wv[]:2j长字符串的第一关键字的排名序号.

c[]:计数数组,计数排序用到.

x[]:一开始是原始数据r的拷贝(其实也表示长度为1的字符串的排名),之后表示2j长度字符串的排名.

p:不同排名的个数.

片段

1.对长度为1的字符串进行排序（函数的第一步）

for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;

①用的是基数排序，也可以使用其它的排序

②r[]存储原本输入的字符串，x[]是对r[]的ASCII呈现（便于排序）

③m是一个估计数字，代表ASCII最大值，在循环中做边界

④n在这里是字符串的长度+1，后面的加加减减有所体现（貌似不介意直接用字符串的长度）

⑤最后一行比较难懂，但实践证明它确实是正确的，sa[i]=j表示第i名是j。

ws[i]是对第i及之前字符出现次数的累加，越往后ws[i]越大，而且对应的字符数值越大，举个例子，如果某一字符串为aaabaa，则a出现的次数为5，b出现的次数为1，按上述原理，可以看做ws[a]=5，ws[b]=6，固然a都在前5名，b在第六名。

2.进行若干次基数排序

因为前面排序的名次可能有重复，所以要再进行若干次，直到所有的名次都不再相同

for(j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p)
{
      for(p=0,i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i;
      for(i=0; i<n; i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
      for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];
      for(i=0; i<m; i++) Ws[i]=0;
      for(i=0; i<n; i++) Ws[wv[i]]++;
      for(i=1; i<m; i++) Ws[i]+=Ws[i-1];
      for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--Ws[wv[i]]]=y[i];
      for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++)
           x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
}

相对于上面函数的第一步来说，这一坨代码更加复杂了

①从最外层循环可以看出，j是处于倍增状态的，代表正在比较的每一小段字符串的长度

②循环内的第一行，循环了j-1次，是对后面几个数的提前处理（其第二关键字都为0）如图

即所有加0的数

③第二行，再翻上去看一眼sa的作用。首先要明白这一行抛弃了一些东西，

由于是对第二关键字的排序，第一关键字先不看，所以有一条件if(sa[i]>=j)

这条语句后面y[p++]=sa[i]-j，要减去j也是因为这个

到这里，第二关键字的排序就完成了

④开始第一关键字的排序

假设需要排序的数为92 71 10 80 63 90

那么y[]=3 4 6 2 1 5 即对第二关键字排序后名次递增所对应的序号

x[]=10 80 90 71 92 63 即对第二关键字排序的结果

for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];将x[]数组拷贝到wv[]中

⑤剩下的基数排序就与对长度为1的字符串进行排序一样了

height数组

个人感觉，上面说的一大堆，都是为 $h e i g h t$

先说定义

$i$

$l c p (x, y)$

$h e i g h t [i]$

H[i]： $h e i g h t [r a k [i]]$

性质： $H [i] ⩾ H [i - 1] - 1$

证明引自远航之曲大佬

具体的证明可以参考这个博客：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8413523.html

求height的代码：

 1 void GetHeight() {
 2     int j, k = 0;
 3     for(int i = 1; i <= N; i++) {
 4         if(k) k--;
 5         int j = sa[rak[i] - 1];
 6         while(s[i + k] == s[j + k]) k++;
 7         Height[rak[i]] = k;
 8         printf("%d
", k);
 9     }
10 }

求LCP的板子：许多细节地方已经注释了

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <iostream>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int maxn = 1e5+5;
 8 
 9 char s[maxn];
10 int sa[maxn],t[maxn],t2[maxn],c[maxn];
11 int Rank[maxn], height[maxn], dp[maxn][20];
12 
13 void build_sa(int n,int m){
14     int i,*x = t, *y = t2;  //引用指针只是为了后面好交换
15     for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
16     for(i = 0; i < n; i++) c[x[i] = s[i]]++;
17     for(i = 1; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
18     for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[i]]] = i;  //sa[i]中表示排名第i的位置是多少,先--操作是因为我们最后添加了个0
19     for(int k = 1; k <= n; k <<= 1){ //k表示每次基数排序需要比较的长度，因为是按照倍增算法所以每次比较2个关键字
20         int p = 0;
21         //直接利用sa数组排序第二关键字
22         for(i = n-k; i < n; i++) y[p++] = i; //y中存放按第二关键字从小到大排序的位置
23         for(i = 0; i < n; i++) if(sa[i] >= k) y[p++] = sa[i]-k;
24         //基数排序第一关键字
25         for(i = 0; i < m; i++) c[i] = 0;
26         for(i = 0; i < n; i++) c[x[y[i]]]++;
27         for(i = 0; i < m; i++) c[i] += c[i-1];
28         for(i = n-1; i >= 0; i--) sa[--c[x[y[i]]]] = y[i];   //i从大到小是为了保证相同字符的情况下默认靠前的更小一些
29         swap(x, y);  //这里只用交换指针即可
30         p = 1; x[sa[0]] = 0; //p表示rank值不同的字符串的数量，如果达到n表示字符串的所有关系都找出来了
31         for(i = 1; i < n; i++)  //重新计算x的值
32             x[sa[i]] = y[sa[i-1]] == y[sa[i]] && y[sa[i-1]+k] == y[sa[i]+k]?p-1:p++; //第一关键字相同且第二关键字相同
33         if(p >= n) break; //p起到计数的作用
34         m = p; // 算是个小优化吧，因为总共就p个，没必要再去遍历那么多
35     }
36 }
37 
38 void getHeight(int n){
39     int i,j,k = 0;
40     for(i = 1; i <= n; i++) Rank[sa[i]] = i; //求出rank值，利用rank和sa是相反的
41     for(i = 0; i < n; i++){
42         if(k) k--; //利用h[i] >= h[i-1]+1这个性质，先求出前面的后面的就可以由前面推出
43         j = sa[Rank[i]-1];
44         while(s[i+k] == s[j+k]) k++;
45         height[Rank[i]] = k;
46     }
47 }
48 
49 void ST_build(int n){
50     for(int i = 0; i < n; i++){
51         dp[i][0] = height[i];
52        // printf("height[%d] = %d
", i, height[i]);
53     }
54     for(int j = 1; (1<<j) <= n; j++)
55         for(int i = 0; (i+(1<<j)-1) <= n; i++)
56             dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
57 }
58 
59 int query(int i, int j){  //RMQ
60     int l = min(Rank[i], Rank[j]);
61     int r = max(Rank[i], Rank[j]);
62     ++l; //为什么要++l呢 因为height[l]是排名为l与l-1的最长公共序列，l-1不在我们所求的范围内
63     printf("l = %d, r = %d
", l, r);
64     int cnt = log2(r-l+1), len  = 1<<cnt;
65     return min(dp[l][cnt], dp[r-len+1][cnt]);
66 }
67 
68 int main(){
69     int T;
70     scanf("%d", &T);
71     while(T--){
72         scanf("%s", s);
73         int len = strlen(s);
74         build_sa(len+1, 130);  //len+1是为了添加一个由字符串结束符为后缀的字符串
75         getHeight(len);
76         ST_build(len+1);
77         int q, l, r;
78         scanf("%d", &q);
79         while(q--){   //求从l开始的后缀和从r开始的后缀的最长公共前缀,注意下边从0开始
80             scanf("%d%d", &l, &r);
81             if(l == r){
82                 printf("%d
", len-l);
83                 continue;
84             }
85             printf("%d
", query(l, r));
86         }
87     }
88     return 0;
89 }

新的模版：

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <iostream>
  3 #include <algorithm>
  4 #include <string.h>
  5 #include <stdlib.h>
  6 #include <math.h>
  7 #include <queue>
  8 #include <set>
  9 
 10 #define INF 0x3f3f3f3f
 11 #define pii pair<int,int>
 12 #define LL long long
 13 using namespace std;
 14 typedef unsigned long long ull;
 15 const int MAXN = 200005;
 16 
 17 int wa[MAXN], wb[MAXN], wv[MAXN], ws_[MAXN];
 18 void Suffix(int *r, int *sa, int n, int m)
 19 {
 20     int i, j, k, *x = wa, *y = wb, *t;
 21     for(i = 0; i < m; ++i) ws_[i] = 0;
 22     for(i = 0; i < n; ++i) ws_[x[i] = r[i]]++;
 23     for(i = 1; i < m; ++i) ws_[i] += ws_[i - 1];
 24     for(i = n - 1; i >= 0; --i) sa[--ws_[x[i]]] = i;
 25     for(j = 1, k = 1; k < n; j *= 2, m = k)
 26     {
 27         for(k = 0, i = n - j; i < n; ++i) y[k++] = i;
 28         for(i = 0; i < n; ++i) if(sa[i] >= j) y[k++] = sa[i] - j;
 29         for(i = 0; i < n; ++i) wv[i] = x[y[i]];
 30         for(i = 0; i < m; ++i) ws_[i] = 0;
 31         for(i = 0; i < n; ++i) ws_[wv[i]]++;
 32         for(i = 1; i < m; ++i) ws_[i] += ws_[i - 1];
 33         for(i = n - 1; i >= 0; --i) sa[--ws_[wv[i]]] = y[i];
 34         t = x;
 35         x = y;
 36         y = t;
 37         for(x[sa[0]] = 0, i = k = 1; i < n; ++i)
 38             x[sa[i]] = (y[sa[i - 1]] == y[sa[i]] && y[sa[i - 1] + j] == y[sa[i] + j]) ? k - 1 : k++;
 39     }
 40 }
 41 int Rank[MAXN], height[MAXN], sa[MAXN], r[MAXN];
 42 void calheight(int *r,int *sa,int n)
 43 {
 44     int i,j,k=0;
 45     for(i=1; i<=n; i++)Rank[sa[i]]=i;
 46     for(i=0; i<n; height[Rank[i++]]=k)
 47         for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1]; r[i+k]==r[j+k]; k++);
 48 }
 49 int n,minnum[MAXN][17];
 50 void RMQ()
 51 {
 52     int i,j;
 53     int m=(int)(log(n*1.0)/log(2.0));
 54     for(i=1;i<=n;i++)
 55         minnum[i][0]=height[i];
 56     for(j=1;j<=m;j++)
 57         for(i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
 58             minnum[i][j]=min(minnum[i][j-1],minnum[i+(1<<(j-1))][j-1]);
 59 }
 60 int Ask_MIN(int a,int b)
 61 {
 62     int k=int(log(b-a+1.0)/log(2.0));
 63     return min(minnum[a][k],minnum[b-(1<<k)+1][k]);
 64 }
 65 int calprefix(int a,int b)
 66 {
 67     a=Rank[a],b=Rank[b];
 68     if(a>b)
 69         swap(a,b);
 70     return Ask_MIN(a+1,b);
 71 }
 72 char s[MAXN];
 73 int q[MAXN];
 74 int main()
 75 {
 76     int k;
 77     cin >> k;
 78     cin >> s;
 79     s[k] = '#';
 80     cin >> (s+k+1);
 81     int n = strlen(s);
 82     for (int i=0;i<n;i++){
 83         r[i] = s[i];
 84     }
 85     int maxx = 0;
 86     Suffix(r,sa,n+1,258);
 87     calheight(r,sa,n);
 88     int x,y;
 89     for (int i=1;i<=n;i++) {
 90         if (height[i] > maxx && 1ll * (sa[i] - k) * (sa[i - 1] - k) < 0){
 91             maxx = height[i];
 92             x = min(sa[i],sa[i-1]);
 93             y = x+maxx;
 94         }
 95     }
 96     for (int i=x;i<y;i++){
 97         printf("%c",s[i]);
 98     }
 99     return 0;
100 }

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