CF-300E-Empire Strikes Back（二分答案 素因子分解+筛法 or 奇葩搞法）

题意：http://codeforces.com/problemset/problem/300/E

问你最小的n，满足 n！整除 ∏ a【i】！

思路：

套路写法是筛出所有素因子，数量统计好

然后二分判断答案里是否有足够的因子数。

二分上界注意一下：(n+m)! /(n!*m!) =C(n+m,m)所以∑a【i】一定足够

还有一种写法是：https://blog.csdn.net/dg_programming/article/details/38903083?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

其实可以这样理解，对于一个 i 来说，如果 i 是合数，那么 i 的素因子应该全得再加上 p[ i ] 个，而这里处理的是将 i 的最小素因子加p [ i ]个，然后将 i / minP[ i ]（表示i的最小素因子）加p[ i ]个，i 可以从大到小进行循环，那么如果 i / minP[ i ]还是合数的话，那么会在 i = i / minP[ i ]时处理接下来的 i 的素因子：

有点背包的意思

#define IOS ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#include <cstdio>//sprintf islower isupper
#include <cstdlib>//malloc  exit strcat itoa system("cls")
#include <iostream>//pair
#include <fstream>//freopen("C:\Users\13606\Desktop\Input.txt","r",stdin);
#include <bitset>
//#include <map>
//#include<unordered_map>
#include <vector>
#include <stack>
#include <set>
#include <string.h>//strstr substr strcat
#include <string>
#include <time.h>// srand(((unsigned)time(NULL))); Seed n=rand()%10 - 0~9;
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>//priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;//less
#include <vector>//emplace_back
//#include <math.h>
#include <cassert>
#include <iomanip>
//#include <windows.h>//reverse(a,a+len);// ~ ! ~ ! floor
#include <algorithm>//sort + unique : sz=unique(b+1,b+n+1)-(b+1);+nth_element(first, nth, last, compare)
using namespace std;//next_permutation(a+1,a+1+n);//prev_permutation
//******************
clock_t __START,__END;
double __TOTALTIME;
void _MS(){__START=clock();}
void _ME(){__END=clock();__TOTALTIME=(double)(__END-__START)/CLOCKS_PER_SEC;cout<<"Time: "<<__TOTALTIME<<" s"<<endl;}
//***********************
#define rint register int
#define fo(a,b,c) for(rint a=b;a<=c;++a)
#define fr(a,b,c) for(rint a=b;a>=c;--a)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pr printf
#define sc scanf
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db E=2.718281828;
const db PI=acos(-1.0);
const ll INF=(1LL<<60);
const int inf=(1<<30);
const db ESP=1e-9;
const int mod=(int)1e9+7;
const int N=(int)1e7+100;

int prime[N];
ll phi[N];
bool unprime[N];

///O(NloglogN)，推荐
void phi_table()
{
    int i, j;
    for (i = 2; i < N; ++i)
        if (!phi[i])
            for (j = i; j < N; j += i)
            {
                if (!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] -= phi[j] / i; ///简化后的代码
            }
}

///O(N)
void linear_phi_table2()
{
    int i, j, k = 0;
    for (i = 2; i < N; i++)
    {
        if (!unprime[i]) ///若i为素数，phi(i)=i-1
        {
            prime[k++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (j = 0; j < k && prime[j] * i < N; j++)
        {
            unprime[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j]) ///若i和p互素，则phi(i*p) = phi(i) * phi(p) = phi(i) * (p-1)
                phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else
            {
                ///此时有i=kp，则
                ///phi(p*kp) = phi(k*p^2) = p*phi(kp)
                phi[prime[j] * i] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}

int a[N],cnt[N];
ll cp[N],check_cp[N];
ll er[100];
ll dp[N];

bool check(int r,ll ans)
{
    for(int i=1;i<=r;++i)
        check_cp[i]=0;
    for(int i=1;i<=r;++i)
    {
        ll temp=prime[i];
        while(ans/temp)
        {
            check_cp[i]+=ans/temp;
            temp*=prime[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=r;++i)
        if(cp[i]>check_cp[i])return 0;
    return 1;
}

ll get(int r)
{
    ll ans=er[50];
    for(int i=50;i>=1;--i)
    {
        if(check(r,ans-er[i]))
            ans-=er[i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
/*    int tt=0;
    for(int i=1;i<=1000;++i)
    {
        int t=i;
        while(t%2)tt++,t/=2;
    }
    for(int i=1;i<=1000;++i)
    {
        int t=i;
        while(t%2)tt++,t/=2;
    }
    pr("%d
",tt);
 */
    er[1]=1;
    for(int i=2;i<=100;++i)
    {
        er[i]=er[i-1]*2;
    //    pr("%d: %lld
",i,er[i]);
    }
    linear_phi_table2();
//    for(int i=0;i<=100;++i)pr("%d: %d
",i,prime[i]);
    int n;
    sc("%d",&n);
    int top=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)sc("%d",&a[i]),++cnt[a[i]],top=a[i]>top?a[i]:top;
    if(top==1)
    {
        pr("1
");
        return 0;
    }
    int r=0;
    for(int i=1e7;i>=1;--i)
        cnt[i]+=cnt[i+1];
    for(int i=1;i<=1e7;++i)
    {
        if(prime[i]>top)
        {
            r=i-1;
            break;
        }
    }r++;
//    for(int i=1;i<=10000000;++i)
//        pr("%d: %d
",i,prime[i]);
    for(int i=r;i>=1;--i)
        prime[i]=prime[i-1];
    for(int i=1;i<=r;++i)
    {
        int now=prime[i];
        ll sum=0;
        for(int j=1;j*now<=top;++j)
        {
            if(j==1)dp[j*now]=1;
            else
            {
                dp[j*now]=0;
                if(j%now==0)dp[j*now]=dp[j]+1;
                else dp[j*now]=dp[now];
            }
            sum+=dp[j*now]*cnt[j*now];
        }
        cp[i]=sum;
    }
    pr("%lld
",get(r));
    return 0;
}

/**************************************************************************************/