第一章 线性方程组

1.1 域

定义 1.1.1

设 (mathbb F) 是复数域 (mathbb C) 的一个子集且至少包含两个元素。如果对于任意 (a, b in mathbb F) 都有

[a + b, a - b, ab, frac a b(b ot= 0) in mathbb F ]

则称 (mathbb F) 是个数域。

命题 1.1.2

设 (mathbb F) 是个数域，则 (mathbb Q subset mathbb F) （也就是 (mathbb Q) 是最小的数域）

定义 1.1.3

• 笛卡尔积 (X imes Y = {(x, y) | x in X, y in Y})

• 代数运算 (X imes Y o Z, (x, y) mapsto x circ y)

  特别地，二元运算 (X imes X o X, (x, y) mapsto x circ y)

除法是 (mathbb Q^* = mathbb Q ackslash {0}) 上的一个二元运算

定义 1.1.4

(mathbb F) 上有两个二元运算（加法和乘法）满足 ((F1) - (F9)) 就称为域。（此处定义 零元、负元、单位元、逆元）

注记 1.1.5

不满足 ((F6),(F8)) （乘法交换律和逆元）则称环，进一步满足 ((F6)) 就称作交换环。

若只不满足 ((F6)) 那称为体或者除环。

称满足 (p 1 = 0) （(1) 为 (mathbb F) 中单位元，(0) 为 (mathbb F) 中零元）的最小正整数 (p) 是 (mathbb F) 的特征，记作 (p = mathrm{char} mathbb F) ；如果不存在这样的 (p) 则称 (mathbb F) 的特征为 (0) 。

因此，若 (mathbb K) 为一个数域，则 (mathrm{char} mathbb K = 0) 。

注记 1.1.6

• 特征只能为 (0) 或者一个素数。

• 若 (mathbb F) 是一个特征为 (p > 0) 的域，则对于 (forall a in F) 有 (pa = 0) 并且

  ((a + b)^p = a^p + b^p ~~~~~(forall a, b in mathbb F))

定义 1.1.7

(X) 上一个二元关系为 (X imes X) 的一个子集合 (R) 。

如果满足反身性、对称性、传递性，就叫做等价关系。（记作 (x sim y)）

记 (overline x) 为 (x) 的等价类，即 (overline x = {y in X~ ~|~ ~y sim x}) 。（和代表元选取无关）

注记 1.1.8

满足反身性、反对称性、传递性，就叫做偏序关系，并称 (X = (X, le)) 为一个偏序集。

命题 1.1.9

设 (n) 是一个大于 (1) 的正整数，则 (mathbb Z /nmathbb Z) 为交换环。

((mathbb Z / n mathbb Z, +, cdot)) 是一个域当且仅当 (n) 是一个素数。

注记 1.1.10

(mathbb F) 是个有限域，则 (|mathbb F| = p^n) 其中 (p) 为一个素数，(n) 为一个正整数。

任意含有元素个数相同的两个有限域总是同构的。

1.2 线性方程组，Gauss消元法与矩阵

定义 1.2.1

线性方程组

[egin{cases} a_{11}x_1 + cdots + a_{1n}x_n = b_1\ a_{m1}x_1 + cdots + a_{mn}x_n = b_m end{cases} ]

有 (n) 个未知量或变元，(a_{ij})为系数，(b_i)为常数项。

如果 (b_1 = cdots = b_m = 0) 那么称为一个齐次线性方程组（我们关注它是否有非零解）。

注记 1.2.1

设 (mathbb F = mathbb R) 那么 (n = 2) 时解就是直线交，(n = 3) 时就是平面的交。

引理 1.2.2

初等变换将一个线性方程组变为一个同解的线性方程组。

• 交换两个方程组位置；
• 用一个非零的数乘某一个方程；
• 将一个方程的倍数加到另一个方程

考虑高斯消元过程，可化为阶梯形。

命题 1.2.3

每一个线性方程组都与一个阶梯形线性方程组同解。

定理 1.2.4

线性方程组的无解、有解、唯一解、无穷多解判定。

无穷多解的情况中，称未知量 (x_{i_{r+1}}, dots, x_{i_n}) 为方程组的一组自由未知量。

推论 1.2.5

若一个齐次线性方程组所含方程个数小于它的未知量个数，则该方程组一定有非零解。

并称其为相伴的齐次线性方程组或导出组。

推论 1.2.6

方程组有唯一解当且仅当导出组只有零解。

定义 1.2.7

定义 (m imes n) 矩阵，和 (a_{i,j}) 为第 (i) 行第 (j) 列元素简称为 ((i,j)) 元素。

(M_{m,n} (mathbb F)) 为数域 (mathbb F) 所有 (m imes n) 矩阵构成的集合。

定义线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，然后可以定义矩阵的初等行/列变换。

命题 1.2.8

重新叙述 命题1.2.3 。

任意一个 (m imes n) 矩阵可以通过初等行变换化为如下形式的阶梯形矩阵。

其中 (a_{1,i_1}, cdots,a_{r,i_r}) 都是非零数，称为主元。

1.3 n维向量空间

定义 1.3.1

设 (mathbb F) 是一个数域，(mathbb F) 中 (n) 个数构成有序数组 (alpha = (a_1, dots, a_n)) 称为 (mathbb F) 上一个 (n) 维（行）向量。

并且记 (mathbb F^n = {(a_1, dots, a_n) ~|~ a_1, dots, a_n in mathbb F})

称 (mathbb F^n) 与其上的加法运算和数乘运算合称为 (mathbb F) 上的 (n) 维向量空间。

线性方程组亦可用向量表示为 (x_1 eta_1 + dots + x_n eta_n = eta) （(eta) 为列向量）

定义 1.3.2

定义 线性组合 和 线性表示。

定义 1.3.4

(n) 维向量空间 (mathbb F^n) 的一个非空子集合称为一个子空间，如果对于 (forall alpha, eta in W) 以及任意 (lambda in mathbb F) 都有 (alpha + eta in W, lambda alpha in W) 。

称 (mathcal L(alpha_1, cdots, alpha_s)) 为 (mathbb F^n) 的由 (alpha_1, cdots, alpha_s) 张成的子空间。

一般地 (S) 是 (mathbb F^n) 任意一个子集合，则
(mathcal L(alpha_1, dots, alpha_s) = {a_1 alpha_1 + cdots + a_m alpha_m ~|~ m ge 0, alpha_i in S, a_i in mathbb F, forall 1 le i le m})
称为由 (S) 张成的子空间。

定义 1.3.5

定义 线性相关 和 线性无关。

例 1.3.6

一个齐次线性方程组有非零解 (Leftrightarrow) 其系数矩阵的列向量是线性相关的。

定义 1.3.7

定义 极大（线性）无关组

命题 1.3.9

(S) 是 (n) 维向量空间 (mathbb F^n) 中的一个含有非零向量的向量组，则 (S) 一定有极大无关组。

对 (n) 进行数学归纳证明即可，分类讨论有无大小为 (n) 的极大无关组。

定义 1.3.10

(S, T) 是 (n) 维向量空间 (mathbb F^n) 中的两个向量组，若 (S) 中每个向量都能由 (T) 表示，则称 (S) 可由 (T) 线性表示（即 (mathcal L(S) subseteq mathcal L(T))）。若 (S, T) 可以互相线性表示，则称 (S, T) 是等价的（(mathcal L(S) = mathcal L(T))）。

定理 1.3.11(Steinitz Exchange Lemma)

设 ({alpha_1, dots, alpha_r}) 与 ({eta_1, dots, eta_s}) 是向量空间 (mathbb F^n) 中两个向量组，若 ({alpha_1, dots, alpha_r}) 线性无关且可由 ({eta_1, dots, eta_s}) 线性表示，则 (r le s) 。

并且必要时对 ({eta_1, dots, eta_s}) 重新编号，，用 (alpha_1, dots, alpha_r) 替换 (eta_1, dots, eta_r) 所得向量组 ({alpha_1, dots, alpha_r, eta_{r+1}, dots, eta_s}) 与 ({eta_1, dots, eta_s}) 等价。

同样对 (r) 进行数学归纳证明，每次找到一个系数非零的用其余线性表示即可。

推论 1.3.12

若 ({alpha_1, dots, alpha_s}) 可由 ({eta_1, dots, eta_t}) 线性表示，且 (s > t)，那么 ({alpha_1, dots, alpha_s}) 线性相关（逆否命题）。

特别地，(mathbb F^n) 中任意 (n + 1) 个向量总线性相关。

推论 1.3.13

• 设 ({alpha_1, dots, alpha_r}) 与 ({eta_1, dots, eta_s}) 是向量空间 (mathbb F^n) 中两个等价的极大无关组，则 (r = s) （因为 (r le s, s le r) ）
• 一个向量组的所有极大线性无关组所含向量个数一定相同

定义 1.3.14

定义向量组的秩，记作 (mathrm r(S)) 或 (mathrm{rank}(S)) 。

推论 1.3.15

等价的向量组有相同的秩。

推论 1.3.16

设 (S = {alpha_1, dots, alpha_m}) 为 (mathbb F^n) 中一个向量组。若 (alpha_{i_1}, dots, alpha_{i_t}) 线性无关，则 (t le mathrm{rank}(S)) 且 (alpha_{i_1}, dots, alpha_{i_t}) 可以扩充为 (S) 的一个极大无关组。

找到极大线性无关组，用 Steinitz 替换定理。

定义 1.3.17

设 (W) 是 (mathbb F^n) 的一个子空间，若 (W) 中存在线性无关的向量 (varepsilon_1, dots, varepsilon_s) 使得 (W) 中每个向量均可由 (varepsilon_1, dots, varepsilon_s) 线性表示，则称 ({varepsilon_1, dots, varepsilon_s}) 为 (W) 的一个基，且 (s) 为 (W) 的维数，记作 (mathrm{dim} W = s) 。

规定零空间 ( extbf 0) 的维数等于 (0) ，记作 (mathrm{dim} extbf 0 = 0) 。

命题 1.3.19

• 若 (W) 是 (mathbb F^n) 的一个子空间，则 (mathrm{dim} W le n)
• 若 (W_1, W_2) 是 (mathbb F^n) 的两个子空间且 (W_1 subseteq W_2) ，则 (W_1) 每一个基从可以扩充成 (W_2) 的一个基

1.4 矩阵的秩与线性方程组有解判别准则

定义 1.4.1

定义 行/列空间 和 行/列秩。

引理 1.4.3

矩阵的行秩与列秩在初等（行、列）变化下不变。

行秩讨论即可，列秩需要证明一个关于极大无关组不变的引理。

定理 1.4.4

矩阵行秩等于列秩。

化为上阶梯形矩阵，然后对行、列秩分别说明一下即可。

定义 1.4.5

矩阵 (A) 的行秩和列秩称为 (A) 的 秩，记作 (mathrm r(A)) 或 (mathrm {rank}(A)) 。

注记 1.4.6

假设通过初等行变换将矩阵 (A) 化为阶梯型矩阵 (B) 则 (A) 的秩恰为 (B) 中主元的个数。而且，(A) 中位于 (B) 中主元所在列的列向量，是 (A) 的列向量组的一个极大无关组。

定理 1.4.7

可以通过初等变换把 (A) 化成

[egin{pmatrix} mathrm{diag}{1} &0\ 0 &0\ end{pmatrix} ]

其中 (1) 出现次数为 (mathrm r(A)) 。

命题 1.4.9

(mathrm r(A) = mathrm r(A^T))

例 1.4.10

• 设 (C = egin{pmatrix} A & 0\ 0 & B\ end{pmatrix}) 则 (r(C) = r(A) + r(B)) 。

  直接将 (A, B) 极大线性无关组拼接即可。

• 设 (A) 是一个 (m imes n) 矩阵，在 (A) 中取出 (s) 行作一个 (s imes n) 矩阵 (B) 。则
  (mathrm r (B) ge mathrm r (A) + s - m) 。

  用 (r(A) le m) 去证。

定理 1.4.11(Kronecker-Capelli)

线性方程组有解的充要条件是 (mathrm r(A) = mathrm r( ilde A) = r) 。
在有解情况下 (r = n) 时，有唯一解；(r < n) 时有无穷多解。

就是 (eta) 可以被 (alpha_1, dots, alpha_n) 线性表示，可以证明扩展出的子空间的维度一样。

然后解的个数就取决于线性表示的方法种数，然后讨论即可。

注记 1.4.12

可以先化为阶梯型矩阵，再利用定理1.2.4给出证明。

推论 1.4.13

若 (n) 元齐次线性方程组的系数矩阵 (A) 的秩为 (r)

• 若 (r = n) ，则方程组仅有零解；
• 若 (r < n) ，则方程组有无穷多解。

1.5 线性方程组的结构

把齐次方程组的解看做 (n) 维列向量，令
(W = {(c_1, dots, c_n)^T in mathbb F^n ~|~ sum_{i = 1}^n c_i alpha_i = 0}) 即方程组所有解构成的集合。

有 (W) 是 (mathbb F^n) 的解空间，亦称为矩阵 (A) 的零空间 。易见，(W = 0) 当且仅当 (mathrm r(A) = n) 。

定义 1.5.1

解空间 (W) 的基 ({eta_1, dots, eta_s}) 称为方程组的一个基础解系。

定理 1.5.2

设 (mathrm r = mathrm r(A) < n) 则 (mathrm{dim} W = n - r) ，即基础解系恰好含有 (n - r) 个向量。

Gauss消元后得到上三角，然后回代出 (x_1, dots, x_r) 的解，对 (x_{r + 1}, dots, x_n) 取特值（只在一处取 (1) ），可得到 (n - r) 个解，它们线性无关。

然后由回代的式子，可知任意解都可以由 (eta_1, dots, eta_{n - r}) 线性表示，即其为一组基础解系。

注记 1.5.3

• 求解过程中交换次序，最后通过调整即可得原齐次方程组的基础解系。
• 根据上述定理，齐次线性方程组的任意一组自由未知量所含向量个数皆为 (n - mathrm r(A))

定理 1.5.5

设方程组有解，且 (gamma) 是其任意一个特解。则其解集为
(gamma + W = {gamma + eta ~|~ eta in W}) 。

从两面证解空间的包含性，即可推相等

至于具体求解，还是考虑将左上角消成 (mathrm{diag}{1}) ，然后此时有 (gamma = (d_1, dots, d_r, 0, dots, 0)^T) ，然后后面同上即可。