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1. 若 $kequiv1pmod{4}$, 那么 $6k+5$ 模4余几?
解答: $$6k + 5 equiv 2k + 1 equiv 3 pmod{4}.$$
2. 在 $3145 imes92653 = 291a93685$ 中, 乘积的一位数字遗漏了, 不计算判断遗漏的数字是多少?
解答: $$291a93685 equiv a + 7 equiv 3145 imes 92653 equiv 4 imes 7 equiv 1 pmod{9}$$ $$Rightarrow a = 3.$$
3. 证明: 任何三角形数的末位数字不能是 $2, 4, 7, 9$. (形如 $dfrac{n(n+1)}{2}$ 的数称为三角形数)
解答:
$n = 2k$ 时, $$frac{n(n+1)}{2} = k cdot (2k+1) equiv 0, 1, 3, 5, 6, 8 pmod{10},$$ $n = 2k+1$ 时, $$frac{n(n+1)}{2} = (k+1)(2k+1) equiv 0, 1, 3, 5, 6, 8 pmod{10}.$$
4. 已知 $99 ig{|} overline{141x28y3}$, 求 $x$, $y$.
解答: $$overline{141x28y3} equiv x + y + 1 equiv 0 pmod{9} Rightarrow x + y equiv 8 pmod{9}.$$ $$overline{141x28y3} equiv 3 + 8 + x + 4 - y - 2 - 1 - 1 equiv x - y equiv 0 pmod{11}$$ 因此 $x = y = 4$.
5. 求一个整数 $n$, 使 $nequiv1pmod{2}$, $nequiv0pmod{3}$, $nequiv0pmod{5}$ 同时成立, 这样的整数有多少个?
解答: $$n = 30k + 15.$$ 这样的整数有无穷多个.