仍然考虑 Cauchy 问题 $$eelabel{3.2.1} sedd{a{ll} cfrac{ d y}{ d x}&=f(x,y),\ y(x_0)&=y_0, ea} eee$$其中
(1) $f$ 在区域 $G$ 内连续;
(2) $f$ 关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件: $$ex forall (ar x,ar y)in G, exists R: |x-ar x|leq a, |y-ar y|leq b,st fmbox{ 在 }Rmbox{ 上关于 }ymbox{ 是 Lipschitz 的}. eex$$
则由解的存在唯一性定理给出的解 $y=varphi(x)$, $xin [x_0-h,x_0+h]$ 可以一直延拓出去, 定义域可以扩张为 $(x_0-al,x_0+eta)$. 此时, 再也不能再延拓了, 记
(1) $(x_0-al,x_0+eta)$ 为解的最大存在区间;
(2) $y=varphi(x)$, $xin$$(x_0-al,x_0+eta)$ 为饱和解.
由解的存在唯一性定理立马得出如下解的延拓定理: 假设如上,
(1) 若 $G$ 为有界区域, 则 $$ex (x,phi(x)) o p G,quad x o x_0+eta. eex$$
(2) 若 $G$ 为无界区域, 则
(a) $eta=+infty$;
(b) 或 $0<eta<+infty$, $(x,phi(x)) o p D,quad x o x_0+eta$.
例 1: $$eex sedd{a{ll} cfrac{ d y}{ d x}&=y^2-y^6\ y(x_0)&=y_0>0 ea} a lim_{x o +infty}y(x)=1. eeex$$
例 2: $$eex sedd{a{ll} cfrac{ d y}{ d x}&=x^2+y^2\ y(x_0)&=y_0 ea} a y=phi(x)mbox{ 的存在区间有限}. eeex$$
例 3: $$eex sedd{a{ll} cfrac{ d y}{ d x}&=(x-y)e^{xy^2}\ y(x_0)&=y_0 ea} a y=phi(x)mbox{ 在 }[x_0,+infty)mbox{ 上有定义}. eeex$$