1. 试证: $$ex frac{|a+b|}{1+|a+b|} leq frac{|a|}{1+|a|} +frac{|b|}{1+|b|}. eex$$
2. 试证: (1). $$ex 0<x<1 a x-frac{1}{x}<2ln x. eex$$ (2). 设 $f$ 在 $(0,infty)$ 上 $searrow$, 可导, $$ex xin (0,infty) a 0<f(x)<|f'(x)|, eex$$ 则 $$ex 0<x<1 a xf(x)>frac{1}{x}fsex{frac{1}{x}}. eex$$ (3). $$ex s>0 a frac{n^{s+1}}{s+1}<1^s+2^s+cdots+n^s<frac{(n+1)^{s+1}}{s+1}. eex$$
3. 试求 $$ex maxsed{al; sex{1+frac{1}{n}}^{n+al}leq e, forall n};quadquad minsed{eta; sex{1+frac{1}{n}}^{n+eta}geq e, forall n}. eex$$
4. 试证: $$ex 0<x<1 a sum_{i=1}^n x^i(1-x)^{2i}leq frac{4}{23}. eex$$
5. 试证: $$ex 0<x<frac{pi}{2} a sex{frac{sin x}{x}}^3geq cos x. eex$$
6. 试证: $$ex x<0 a frac{1}{x}+frac{1}{ln(1-x)}<1. eex$$
7. 试证: $$ex frac{e^a-e^b}{a-b}<frac{e^a+e^b}{2},quad a eq b. eex$$
作业. 设 $f$ 定义在 $(-1,infty)$ 上, 满足 $$ex f'(x)+f(x)-frac{1}{x+1}int_0^1 f(t) d t=0,quad f(0)=1. eex$$ 试求 $f'(x)$.