1. 计算 $$ex lim_{x o 0^+}dfrac{int_0^x e^{-t^2} d t-x}{sin x-x}. eex$$
2. 讨论广义积分 $dps{int_1^infty sez{ln sex{1+dfrac{1}{x}}-sin dfrac{1}{x}}}$ 的敛散性.
3. 函数 $$ex f(x,y)=sedd{a{ll} sex{1-cos dfrac{x^2}{y}}sqrt{x^2+y^2},&y eq 0;\ 0,&y=0. ea} eex$$ $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微么? 证明你的结论.
4. 计算 $$ex int_L e^x[(1-cos y) d x-(y-sin y) d y], eex$$ 其中 $L$ 去曲线 $y=sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(pi,0)$.
5. 证明函数项级数 $$ex sum_{n=0}^infty dfrac{cos nx}{n^2+1} eex$$ 在 $(0,2pi)$ 上一致收敛, 并且在 $(0,2pi)$ 上有连续导数.
6. 设 $$ex x_0=1,quad x_{n+1}=dfrac{3+2x_n}{3+x_n},quad (ngeq 0). eex$$ 证明数列 $sed{x_n}$ 收敛并求其极限.
7. 设函数 $fin C^2(bR^2)$, 且对任意 $(x,y)inbR^2$, $$ex dfrac{p^2f}{p x^2}(x,y)+dfrac{p^2f}{p y^2}(x,y)>0. eex$$ 证明: $f$ 没有极大值点.
8. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(b)>f(a)$, $dps{c=dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}$. 证明 $f$ 必具备下述两条性质中的一个:
(1). 任意 $xin [a,b]$, 有 $f(x)-f(a)=c(x-a)$.
(2). 存在 $xiin (a,b)$ 使得 $f'(xi)>c$.
9. 设 $F:bR^3 o bR^2$ 是 $C^1$ 映射, $x_0inbR^3$, $y_0inbR^2$, $F(x_0)=y_0$, 且 $F$ 在 $x_0$ 处的 Jacobi 矩阵 $D F(x_0)$ 的秩为 $2$. 证明: 存在 $ve>0$, 以及 $C^1$ 映射 $gamma(t): (-ve,ve) obR^3$, 使得 $gamma'(0)$ 是非零向量, 且 $F(gamma(0))=y_0$.
10. 设开集 $UsubsetbR^n$, $f:U o bR^n$ 是同胚映射, 且 $f$ 在 $U$ 上一致连续. 证明: $U=bR^n$.
参考解答见家里蹲大学数学杂志.