给某位小朋友的解答：
已知函数$f(x)$对任意的$a,bin mathbb{R}$都有 $f(a+b)=f(a)+f(b)-1$且当$x>0$时,$f(x)>1$.
(1) 求证$f(x)$是增函数.
(2) 若$f(-1)=0$且$f(9^{x}-2cdot 3^{x})+f(2cdot 9^{x}-k)>0$对任意$xin [0,infty)恒成立. 求实数$k$的取值范围。
解:
(1) 证明: 函数$f(x)$对任意的$a,bin mathbb{R}$都有 $f(a+b)=f(a)+f(b)-1$，令$a=b=0$那么可得$f(0)=1$.
令$a=x,b=-x$可得 $f(x)+f(-x)=2.$
不妨设$a>b$,那么$a-b>0,f(a-b)>1.$
$$f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)-2=f(a-b)-1>0,$$
所以函数$f(x)$为单调递增函数。
(2) 由 $f(-1)=0$知 $f(-2)=2f(-1)-1=-1$. 由 (1)的证明过程知
$$f(9^{x}-2cdot 3^{x})+f(2cdot 9^{x}-k)=f(3cdot 9^{x}-2cdot 3^{x}-k)+1>0.$$
由单调增性质知
$$f(3cdot 9^{x}-2cdot 3^{x}-k)>-1=f(-2),$$
只需
$$3cdot 9^{x}-2cdot 3^{x}-k>-2.$$
令$y=3^{x}>0$,
$$k<3y^{2}-2y+2=g(y),(y>0).$$
$g(y)$在定义域$y>0$的最小值为$g(frac{1}{3})=frac{5}{3}$, 所以 $k<frac{5}{3}.$