World Of Our Own [Lucas+思维题]

$World Of Our Own$

⼩C在研究数组的xor。
她有⼀个长度为 $n$ 的数组 $A$。
她每次会把$a_{i-1}$和$a_i$异或起来，然后$A$的长度会变成$n - 1$
这么操作了$n - 1$次之后得到了长度为$1$的数组。
她想知道在操作过程中每次的$a_1$为多少?
为了避免输出过⼤，请输出第$j$次操作后的$a_1 imes (j + 1)$的异或和($0 leq j leq n - 1$)。

$n le 8 * 10^6, a, b, c, d le 10^9, a < d$

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$color{red}{正解部分}$

将过程图画出如下 $↓$
(请自行脑补将所有下标减$1$)

图中最左边一列的点从上向下分别表示第 $0, 1, 2, 3$ 此操作后的 $a_1$,
其左下角的数字表示其受数组中对应位置的异或和贡献,

发现贡献系数是符合杨辉三角的规律的, 用语言表达出来就是: $第 i 次操作后受位置 j 影响的贡献系数是 C_{i}^j$,
由于是异或操作, 当 贡献系数 是奇数的时候才会真正产生贡献 .

那么什么时候 贡献系数 为奇数呢 $?$, 换句话说, 什么时候 $C_i^j$ 为奇数呢 $?$
考虑在模$2$的意义下使用 $Lucas$ 定理 : $C_i^j ≡ C_{i\%2}^{j\%2}*C_{i/2}^{j/2} mod 2$,

先考虑第一项 $C_{i\%2}^{j\%2}$, 当且仅当 $i\%2=0, j\%2=1$ 的时候 $C_{i\%2}^{j\%2}$ 为 $0$,
此时 $i$ 的二进制尾部为 $0$, $j$ 的二进制尾部为 $1$ , 由于是乘法, 这个 $0$ 会导致整个式子归零 .

再考虑第二项, 对 $C_{i/2}^{j/2}$ 使用 $Lucas$ 定理,
在二进制表示下相当于 $i$ 与 $j$ 同时去掉尾部的一个二进制位之后的一个递归过程, 回到 考虑第一项 的情况 .

于是综上所述可得: $当 i & j = j 时, C_{i}^{j}=1, j 位置的数对第 i 次操作的 a_1 有贡献 .$

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$color{red}{实现部分}$

可以枚举 $j$, 然后在 $j$ 的二进制上 “填” $1$ 得到一个可以贡献的 $i$, 累计$a_j$的贡献 .

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
typedef long long ll;

int read(){
        char c;
        int s = 0, flag = 1;
        while((c=getchar()) && !isdigit(c))
                if(c == '-'){ flag = -1, c = getchar(); break ; }
        while(isdigit(c)) s = s*10 + c-'0', c = getchar();
        return s * flag;
}

const int maxn = 8500006;

int N;
int a;
int b;
int c;
int d;
int Rd[maxn];
int sum[maxn];

ll Ans;
ll A[maxn];

void Vio(){
        int cnt = 0;
        for(reg int i = N; i > 1; i --){
                Ans ^= A[1]*(++ cnt);
                for(reg int j = 1; j < i; j ++) A[j] = A[j]^A[j+1];
        }
        Ans ^= A[1]*(++ cnt);
        printf("%lld
", Ans);
}

void Work(){
        for(reg int j = 0; j <= 22; j ++)
                for(reg int i = 0; i < N; i ++)
                        if(!(i & (1<<j))) A[i|(1<<j)] ^= A[i];
        for(reg int i = 0; i < N; i ++) Ans ^= A[i]*(i+1);
        printf("%lld
", Ans);
}

int main(){
        scanf("%d%d%d%d%d", &N, &a, &b, &c, &d);
        A[0] = a;
        for(reg int i = 1; i < N; i ++) A[i] = (A[i-1]*A[i-1] + 1ll*b*A[i-1] + c) % d;
        Work();
        return 0;
}