数论——欧拉函数，欧拉定理和费马小定理

借鉴：https://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/47045279

借鉴：https://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/47045135

借鉴：https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/80693756

说明：

1. 质因子（或质因数）在数论里是指能整除给定正整数的质数。比如360 = 2³ * 3² * 5，质因子就是2,3,5。
2. 除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。
3. 若 gcd(a, b) == 1，a, b互质。
4. 若 gcd(a, c) == 1，gcd(b, c) == 1，则有 gcd(a * b, c) == 1。因为相乘以后还是没有公因子。
5. 若 gcd(a, d) == 1，a = b * c，则有 gcd(b, d) == 1，gcd(c, d) == 1。因为整体既然没有公因子，部分也必然不会有。

欧拉函数的推导和证明：

欧拉函数，φ(n)，或表示为phi(n)，表示1~n中与n互质的数的个数。

推导：

设 p 为 n 的一个质因子。

令 m = n / p。

当 m % p == 0 时：

φ(n) = φ(m) * p

当 m % p != 0 时：

φ(n) = φ(m) * (p - 1)

证明：

首先，由于 n = m * p，所以所有与 n 互质的数必然同时与 m 和 p 互质；其次，所有即与 m 互质，也与 p 互质的数，都与 n 互质；最后，所有不满足即与 m 互质，也与 p 互质的数必然不与 n 互质。

于是，问题就从“在 1~n 中找与 n 互质的数的个数。”变成“在 1~n 中找即与 m 互质，也与 p 互质的数的个数。”。

正式开始证明：

我们先把 1~n 中所有与 m 互质的数全部找出来。

为此我们把 1~n 划分为 p 个区间，每个区间长度为 m，第 i 个区间表示为 (m * (i - 1), m * i]，左开右闭，1 <= i <= p。

设第 i 个区间上第 j 个数为 x_ij ，则 x_ij = m * (i - 1) + j，1 <= j <= m。

要判断 x_ij 是否与 m 互质，只需要看 gcd(m, x_ij) 是否等于1。

又 gcd(m, x_ij) = gcd(m, j)。（欧几里德算法）

所以要求第 i 个区间上与 m 互质的数的个数只需要计算有多少个 j 满足 gcd(m, j) == 1，即 1~m 中有多少个数与 m 互质，很显然，答案是 φ(m)。

而这样的区间有 p 个，所以 1~n 中所有与 m 互质的数的个数为 φ(m) * p 个。

 

若所有与 m 互质的数都与 p 互质，则必有 m % p == 0，并且为充要条件，证明如下：

必要性：

若 m % p != 0，结合 p 是素数可知 gcd(m, p)  == 1。

设 x 为 1~n 中某个与 m 和 p 互质的数。

则有 gcd(x, m)  == 1，gcd(x, p)  == 1。

∵ gcd(m, p)  == 1。

∴ gcd(x * p, m)  == 1。

∴ gcd(x * p, p) == 1 与题设矛盾。

充分性：

∵  m % p == 0。

∴ 必然存在一个整数 k ，使得 m = k * p。

设 x 为 1~n 中某个与 m 互质的数。

∴ gcd(x, m)  == 1。

∴ gcd(x, p)  == 1。

∴ 得证。

 

真正的证明开始了：

设 x 为 1~n 中某个与 m 互质数。

若 m % p == 0，“在 1~n 中找即与 m 互质，也与 p 互质的数的个数”即为“在 1~n 中找与 m 互质的数的个数”，因此 φ(n) = φ(m) * p。

若 m % p != 0，需要从所有与 m 互质的数中剔除掉与 p 不互质的数，因为 p 是质数，所以需要剔除掉有因子 p 的数。1~n 中所有含因子 p 的数所构成的集合为 {i * p | 1 <= p <= m}，又因为 m 与 p 互质，所以判断 m 与 i * p 是否互质只需要判断 m 与 i 是否互质即可，是不是有点眼熟，这不就是 φ(m) 吗！因此 φ(n) = φ(m) * (p - 1)。

欧拉函数的推论：

对于素数 n ，φ(n) = n -1 。 
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。 

 

欧拉定理：

如果 a 和 n 互质，那么a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

证明：

设 x₁, x₂,……x_φ(n)为 1~n 内与 n 互质的质数序列。

令 p₁ = a * x₁，p₂ = a * x₂，……，p_φ(n) = a * x_φ(n)。

 以下先证明2个命题：

命题1：p 之间两两模 n 不同余。

假设 p_i ≡ p_j (mod n)(i > j)。

∴ p_i - p_j ≡ 0 (mod n)。

∴ a * (x_i - x_j) ≡ 0 (mod n)。

∵ 1 <= (x_i - x_j) < n

∴ a 必为 n 的倍数，这与 a 与 n 互质矛盾。

∴ 命题得证。

命题2：gcd(p_i % n, n) == 1。

∵ gcd(a, n) == 1，gcd(x_i, n) == 1。

∴ gcd(a * x_i, n) == 1。

∴ gcd(p_i % n, n) == 1。（欧几里德算法）

 

通过以上2个命题的证明，我们可以知道 p_i 模 n 的余数两两不相同，一共有 φ(n) 个，且全部与 n 互质。这意味着所有 p_i 模 n 的余数所组成的集合刚好就是集合{xi | 1 <= i <= φ(n)}，也就是说，对于一个确定的 p_i ，一定有唯一与之对应的 x_j ，使得 p_i ≡ x_j (mod n)(i != j)。把所有等式两边对应的数都乘起来，我们就可以得到 p₁ * p₂ * …… * p_φ(n) ≡ x₁ * x₂ * …… * x_φ(n) (mod n)。两边消去 x_i ，得到 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。

费马小定理：

如果 a 和 p 互质且 p 为素数，那么a^p-1 ≡ 1 (mod p)。

证明：

 当 p 为素数时，φ(p) = p - 1，所以a^p-1 ≡ 1 (mod p)。

利用费马小定理求逆元：

∵ a^p-1 ≡ 1 (mod p)。

∴ a^p-2 ≡ inv(a) (mod p)。

代码如下：

// Calculate x^y % p
inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p){
    LL ans = 1;
    while(y){
        if(y & 1) ans = (ans * x) % p;
        x = (x * x) % p;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
} 

//费马小定理求a关于p的逆元 
/**
 *    费马小定理
 *    a^(p-1) ≡1 (mod p)
 *    a^(p-2) ≡1/a (mod p)
 *    a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
 */
LL Fermat(LL a, LL p){
    return pow_mod(a, p-2, p);
}