最长公共上升子序列(LCIS)

　　最长公共上升子序列慕名而知是两个字符串a，b的最长公共递增序列，不一定非得是连续的。刚开始看到的时候想的是先用求最长公共子序列，然后再从其中找到最长递增子序列，可是仔细想一想觉得这样有点不妥，然后从网上看了一些大神的理解，觉得恍然大悟。

　　定义dp[i][j]表示字符串a前i个和字符串b的前j个且以b[j]结尾构成的最长公共上升子序列的长度，定义一个max用来保存最大的长度。用两个循环，外层循环控制字符串a，内层循环控制字符串b。如果a[i]不等于b[j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j]；如果a[i]大于b[j]而且max<dp[i-1][j]，则max=dp[i-1][j]；如果a[i]等于b[j]，则dp[i][j]=max+1。最后的答案在dp[n][1~m]中最大的。（注意，这种情况是字符串都是从下标为1开始存的）

　　下面是例题:  杭电1423

Greatest Common Increasing Subsequence

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3482    Accepted Submission(s): 1098

Problem Description

This is a problem from ZOJ 2432.To make it easyer,you just need output the length of the subsequence.

 

Input

Each sequence is described with M - its length (1 <= M <= 500) and M integer numbers Ai (-2^31 <= Ai < 2^31) - the sequence itself.

 

Output

output print L - the length of the greatest common increasing subsequence of both sequences.

 

Sample Input

1

5

1 4 2 5 -12

4

-12 1 2 4

 

Sample Output

2

 

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int t,n,m;
int a[503],b[503];
int dp[503][503];

int LCIS()
{
    int i,j;
    int max;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        max = 0;
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if (a[i]>b[j] && max<dp[i-1][j])
                max = dp[i-1][j];
            if(a[i] == b[j])
                dp[i][j] = max + 1;
        }
    }
    max = 0;
    for(i=1;i<=m;i++)
        if(max<dp[n][i])
            max = dp[n][i];
    return max;
}

int main()
{
    int i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i];
        cin>>m;
        for(j=1;j<=m;j++)
            cin>>b[j];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        cout<<LCIS()<<endl;
        if (t)
            cout<<endl;
    }
}

　　其实还有一种更牛的方法是采用一维数组，但是时间还是n^2。当i循环到k的时候，原来dp[i]表示原来的dp[k][j]，因为当a[i]!=b[j]的时候dp[i]的值是不变的，沿用过去的值就行了，只有当a[i]==b[j]的时候才需要更新dp[i]的值。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int t,n,m;
int a[503],b[503];
int dp[503];

int LCIS()
{
    int i,j;
    int max;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        max = 0;
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            if (a[i]>b[j] && max<dp[j])
                max = dp[j];
            if(a[i] == b[j])
                dp[j] = max + 1;
        }
    }
    max = 0;
    for(i=1;i<=m;i++)
        if(max<dp[i])
            max = dp[i];
    return max;
}

int main()
{
    int i,j;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i];
        cin>>m;
        for(j=1;j<=m;j++)
            cin>>b[j];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        cout<<LCIS()<<endl;
        if (t)
            cout<<endl;
    }
}