矩阵乘法 之 strassen 算法

一般情况下矩阵乘法需要三个for循环，时间复杂度为O(n^3)，现在我们将矩阵分块

一般算法需要八次乘法
r = a * e + b * g ;
s = a * f + b * h ;
t = c * e + d * g;
u = c * f + d * h;

strassen将其变成7次乘法，因为大家都知道乘法比加减法消耗更多，所有时间复杂更高！
strassen的处理是：
令：
p1 = a * ( f - h )
p2 = ( a + b ) * h
p3 = ( c +d ) * e
p4 = d * ( g - e )
p5 = ( a + d ) * ( e + h )
p6 = ( b - d ) * ( g + h )
p7 = ( a - c ) * ( e + f )

那么我们可以知道：
r = p5 + p4 + p6 - p2
s = p1 + p2
t = p3 + p4
u = p5 + p1 - p3 - p7

我们可以看到上面只有7次乘法和多次加减法，最终达到降低复杂度为O( n^lg7 ) ~= O( n^2.81 );
代码实现如下：

// strassen 算法：将矩阵相乘的复杂度降到O(n^lg7) ~= O(n^2.81)  
// 原理是将8次乘法减少到7次的处理  
// 现在理论上的最好的算法是O(n^2,367)，仅仅是理论上的而已  
//  
//  
// 下面的代码仅仅是简单的实例而已，不必较真哦，呵呵~  
// 下面的空间可以优化的，此处就不麻烦了~  

#include <stdio.h>  

#define  N  10  

//matrix + matrix  
void plus( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2] )  
{  
    int i, j;  
    for( i = 0; i < N / 2; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N / 2; j++ )  
        {  
            t[i][j] = r[i][j] + s[i][j];  
        }  
    }  
}  

//matrix - matrix  
void minus( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2] )  
{  
    int i, j;  
    for( i = 0; i < N / 2; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N / 2; j++ )  
        {  
            t[i][j] = r[i][j] - s[i][j];  
        }  
    }  
}  

//matrix * matrix  
void mul( int t[N/2][N/2], int r[N/2][N/2], int s[N/2][N/2]  )  
{  
    int i, j, k;  
    for( i = 0; i < N / 2; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N / 2; j++ )  
        {  
            t[i][j] = 0;  
            for( k = 0; k < N / 2; k++ )  
            {  
                t[i][j] += r[i][k] * s[k][j];  
            }  
        }  
    }  
}  

int main()  
{  
    int i, j, k;  
    int mat[N][N];  
    int m1[N][N];  
    int m2[N][N];  
    int a[N/2][N/2],b[N/2][N/2],c[N/2][N/2],d[N/2][N/2];  
    int e[N/2][N/2],f[N/2][N/2],g[N/2][N/2],h[N/2][N/2];  
    int p1[N/2][N/2],p2[N/2][N/2],p3[N/2][N/2],p4[N/2][N/2];  
    int p5[N/2][N/2],p6[N/2][N/2],p7[N/2][N/2];  
    int r[N/2][N/2], s[N/2][N/2], t[N/2][N/2], u[N/2][N/2], t1[N/2][N/2], t2[N/2][N/2];  


    printf("
Input the first matrix...:
");  
    for( i = 0; i < N; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N; j++ )  
        {  
            scanf("%d", &m1[i][j]);  
        }  
    }  

    printf("
Input the second matrix...:
");  
    for( i = 0; i < N; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N; j++ )  
        {  
            scanf("%d", &m2[i][j]);  
        }  
    }  

    // a b c d e f g h  
    for( i = 0; i < N / 2; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N / 2; j++ )  
        {  
            a[i][j] = m1[i][j];  
            b[i][j] = m1[i][j + N / 2];  
            c[i][j] = m1[i + N / 2][j];  
            d[i][j] = m1[i + N / 2][j + N / 2];  
            e[i][j] = m2[i][j];  
            f[i][j] = m2[i][j + N / 2];  
            g[i][j] = m2[i + N / 2][j];  
            h[i][j] = m2[i + N / 2][j + N / 2];  
        }  
    }  

    //p1  
    minus( r, f, h );  
    mul( p1, a, r );   

    //p2  
    plus( r, a, b );  
    mul( p2, r, h );  

    //p3  
    plus( r, c, d );  
    mul( p3, r, e );  

    //p4  
    minus( r, g, e );  
    mul( p4, d, r );  

    //p5  
    plus( r, a, d );  
    plus( s, e, f );  
    mul( p5, r, s );  

    //p6  
    minus( r, b, d );  
    plus( s, g, h );  
    mul( p6, r, s );  

    //p7  
    minus( r, a, c );  
    plus( s, e, f );  
    mul( p7, r, s );  

    //r = p5 + p4 - p2 + p6  
    plus( t1, p5, p4 );  
    minus( t2, t1, p2 );  
    plus( r, t2, p6 );  

    //s = p1 + p2  
    plus( s, p1, p2 );  

    //t = p3 + p4  
    plus( t, p3, p4 );  

    //u = p5 + p1 - p3 - p7 = p5 + p1 - ( p3 + p7 )  
    plus( t1, p5, p1 );  
    plus( t2, p3, p7 );  
    minus( u, t1, t2 );  

    for( i = 0; i < N / 2; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N / 2; j++ )  
        {  
            mat[i][j] = r[i][j];  
            mat[i][j + N / 2] = s[i][j];  
            mat[i + N / 2][j] = t[i][j];  
            mat[i + N / 2][j + N / 2] = u[i][j];  
        }  
    }  

    printf("
下面是strassen算法处理结果：
");  
    for( i = 0; i < N; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N; j++ )  
        {  
            printf("%d ", mat[i][j]);  
        }  
        printf("
");  
    }  

    //下面是朴素算法处理  
    printf("
下面是朴素算法处理结果：
");  
    for( i = 0; i < N; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N; j++ )  
        {  
            mat[i][j] = 0;  
            for( k = 0; k < N; k++ )  
            {  
                mat[i][j] += m1[i][j] * m2[i][j];  
            }  
        }  
    }  

    for( i = 0; i < N; i++ )  
    {  
        for( j = 0; j < N; j++ )  
        {  
            printf("%d ", mat[i][j]);  
        }  
        printf("
");  
    }  

    return 0;  
}  

现在最好的计算矩阵乘法的复杂度是O( n^2.376 )，不过只是理论上的结果。此处仅仅做参考~