如图所示，
已知AB = AC，∠ABD = 20°，∠ACE = 30°，∠CBD = 50°，∠BCE = 60°
求∠BDE
看上去貌似是个初中级别的题，应该也有初中级别的解法，不过懒得去找|||- -
于是直接进行暴力求解
（1）
∠BAD = 180° - 80° - 80° = 20° =>
∠BAD = ∠ABD =>
AD = BD
（2）
∠BEC = 180° - 80° - 50° = 50° =>
∠BEC =∠BCE =>
BC = BE
（3）
为了简便起见，我们假设
AB = AC = m
另外，由于后续涉及到正弦和余弦计算，故统一改用弧度
∠ADB = π - π/9 - π/9 = 7π/9
设∠EDB = x， 则
∠BED = π - π/9 - x = 8π/9 - x
（4）
对三角形ABC使用正弦定理，可知
sin∠ABC / AC = sin∠BAC / BC
由于AC=m，故
BC = BE
= m * sin（π/9） / sin（4π/9）
（5）
对三角形ABD使用正弦定理，可知
sin∠ADB / AB = sin∠ABD / AD
由于AB = m，故
AD = BD
= m * sin（π/9） / sin（7π/9）
（6）
对三角形BDE使用正弦定理，可知
sin∠BDE / BE = sin∠BED / BD
结合（1）（2）（3）（4）（5），即可以得到
sin （x） / （m * sin（π/9） / sin（4π/9）） =
sin（8π/9 - x） / （m * sin（π/9） / sin（7π/9））
整理一下得到
sin（4π/9）* sin（x） = sin（7π/9）* sin（8π/9 - x）
再利用两角和公式把sin（8π/9 - x）展开，得到
sin（4π/9）* sin（x） = sin（7π/9）* （sin（8π/9）cos（x） - cos（8π/9）sin（x））
把sin（x）的项移到左边，cos（x）的项移到右边，得到
sin（x）* （sin（4π/9）+ cos（8π/9）） = cos（x）sin（7π/9）sin（8π/9）
tan（x） = sin（7π/9）sin（8π/9）/ （sin（4π/9）+ cos（8π/9））
（7）
如果此时直接把结果写成arctan XXX，貌似也不能算错。
不过在这个场景下，结果还可以继续化简。
tan（x） = sin（7π/9）sin（8π/9）/ （sin（4π/9）+ cos（8π/9））
= sin（π - 2π/9）sin（π - π/9）/ （sin（4π/9）+ sin（π - 2π/9）cos（π - π/9））
利用 sin（π - α）= sin（α），以及 cos（π - α）= - cos（α），可以得到
tan（x）= sin（2π/9）sin（π/9）/ （sin（4π/9）- sin（2π/9） cos（π/9））
（8）
以下需要用到一些小技巧，核心思想是把结果尽可能地用π/3或者π/6来表示，
由于π/3（60°）和π/6（30°）的正弦和余弦值是要求背出来的，就能达到化简的目的。
为了简便起见，令α = π/9，则
2α = 2π/9 = π/3 - π/9 = π/3 - α
4π/9 = π/3 + π/9 = π/3 + α
于是（7）中的式子化为：
tan（x）= sin（π/3 - α） sin（α）/ （sin（π/3 + α）- sin（π/3 - α）cos（α））
利用两角和公式将其展开，得到
tan（x）= （√3/2 * sin（α）cos（α）- 1/2 * sin^2（α）） / （√3/2 * cos（α）+ 1/2 * sin（α） - √3/2 * cos^2（α）+ 1/2 * sin（α） cos（α））
其中二次项sin^2（α）、cos^2（α）和 sin（α） cos（α），分别用降幂公式和二倍角公式化成2α形式，再用2α = π/3 - α去代换如下：
sin^2（α） = （1 - cos（2α））/ 2 = （1 - cos（π/3 - α））/ 2 = 1/2 - 1/4 * cos（α） - √3/4 * sin（α）
cos^2（α） = （1 + cos（2α））/ 2 = （1 + cos（π/3 - α））/ 2 = 1/2 + 1/4 * cos（α） + √3/4 * sin（α）
sin（α） cos（α） = sin（2α）/ 2 = sin（π/3 - α）/ 2 = √3/4 * cos（α）- 1/4 * sin（α）
把这三个结果代入，再合并同类项，得到
tan（x） = （3/8 * cos（α）- √3/8 * sin（α） - 1/4 + 1/8 * cos（α）+ √3/8 * sin（α）） / （√3/2 * cos（α）+ 1/2 * sin（α） - √3/4 - √3/8 * cos（α） - 3/8 * sin（α）+ √3/8 * cos（α） - 1/8 * sin（α））
= （1/2 * cos（α）- 1/4） / （√3/2 * cos（α）- √3/4）
= （（1/4） * （2 * cos（α）- 1）） / （（√3/4）*（2 * cos（α）- 1））
非常凑巧，这个除法式子里面，恰好可以上下同时约掉一个2 * cos（α）- 1
于是得到
tan（x） = 1/√3 = √3/3
稍微有点基础的同学们应该一眼就可以看出，
x = π/6 ， 也就是30°
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小结：
此题主要的知识点有：
（1）最基本的初中几何知识；
（2）正弦定理；
（3）两角和公式，包括积化和差、和差化积、二倍角等；
（4）降幂公式；
（5）常见角（如π/3和π/6）的正弦、余弦、正切等值；
（6）遇到正弦、余弦不太好表示的角，想办法将其转化成与常见角的和差关系；