洛谷 2051 [AHOI2009] 中国象棋

这也是一道dp方程很难想出来的dp

要是想通了方程，后续的推导也需要花费一定的时间，所以是一道好题

我直接讲dp方程吧

因为我也没有想出来dp方程，是某个同学告诉我的

dp[i][j][k]表示到了第i行，这一行之前有j列放了1个棋子，有k列放了2个棋子

这个方程确实不好想

转移有一点多

总共有6个转移方程

其实是压了一维，这一维是放了0个棋子的列数

因为这一维可以由其他两维推出他就=m-j-k;

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k])%mod;

表示这一行什么棋子也不取

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1))%mod;

表示这一行将之前的一个0个全变成1个有多少种方案

就是由j-1在加上了这个变来得1

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%mod;

表示这一行将之前的一个1全变成2有多少种方案

由j+1减去了1，k-1加上了1

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-2][k]*calc(m-j-k+2))%mod;

这是将之前的2个0全都变成1

因为可以任取2个，所以运用组合数就是C（m-j-k+2，2）

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+2][k-2]*calc(j+2))%mod;

这是将之前的2个1全变成2

通过组合数同样是C（j+2，2）

dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j)%mod;

这里表示将之前的1个0变成1，一个1变成2

j-1加上当前由0变成的1就是j，再将两个方案乘起来

这就是所有的6个方程

代码如下

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=9999973;
const ll N=105;
ll dp[N][N][N],n,m;
ll calc(ll x)
{
    return (x*(x-1)/2)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    dp[0][0][0]=1;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    for(ll j=0;j<=m;j++)
    for(ll k=0;k<=m-j;k++)
    {
        dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k])%mod;// 1
        if(m-j-k+1>=0 && j>=1)
            dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1))%mod;// 2
        if(j+1>=0 && k>=1)
            dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%mod;//   3
        if(m-j-k+2>=0 && j>=2)
            dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j-2][k]*calc(m-j-k+2))%mod;//4
        if(j+2>=0 && k>=2)
            dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j+2][k-2]*calc(j+2))%mod;//  5
        if(m-j-k+1>=0 && k>=1 && j>=1)
            dp[i][j][k]=(dp[i][j][k]+dp[i-1][j][k-1]*(m-j-k+1)*j)%mod;//  6
    }
    ll ans=0;
    for(int j=0;j<=m;j++)
        for(int k=0;k+j<=m;k++)
        {
            ans=(ans+dp[n][j][k])%mod;
        }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}