CF1554

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A. Cherry

给一个序列，求所有大小大于等于 2 的区间 min 乘 max 的最大值。

考虑增量构造。假设我们已经求得一个区间的 min 和 max，现在在其右端扩展一个数。只可能 min 变小，或者 max 变大。讨论这两种情况，min 变小肯定不优；而如果是 max 变大，考虑删除该区间左边的一些数，max 和 min 均不会变小。那么这样就得到了一个很强的结论，即最终产生的答案的区间的长度一定是 2。所以对所有 (a_i imes a_{i+1}) 取 max 即可。

B. Cobb

给定序列 (a (a_ileq n)) 和 常数 (kleq 100)，求 (f(i,j)=i imes j-kcdot (a_i|a_j)) 的最大值，其中 (i eq j)。

这道题的突破口在于值域，(kleq 100) 和 (a_i|a_j leq 2n) 都很小，但是 (i imes jleq n^2) 很大，所以有一个猜想，即是说答案在 (i) 和 (j) 比较大的时候产生。先考虑考虑一个可能的答案 (f(n,n-1)geq n(n-1)-k imes 2n=n^2-2kn-n)，而任何比这个值小的都不可能成为答案，又有 (f(i,j)leq i imes j)（假定 (i<j)），要使得其成为答案，就必须 (ij geq n^2-2kn-n)，那么 (i) 的范围就是 ([frac{n^2-2kn-n}{j},n])，容易发现必须 (i) 和 (j) 都大于等于 (n-2k) 时，这个区间才不是空集，那么我们只需要枚举 (O(k^2)) 次即可。

C. Mikasa

给出 (n,mleq 10^9)，求数列 (0 oplus n)，(1 oplus n)，(dots)，(moplus n) 的 mex 。其中 (oplus) 表示异或。

实质上是找出最小的 (k) ，使得 (k oplus ngeq m+1)，考虑从高到低按位计算，记 (n) 当前位是 (x)，(m+1) 的是 (y)。

1. 如果 (x=y) 跳过即可。
2. 如果 (x=1,y=0) 直接结束，因为已经大于等于 (m+1) 了。
3. 如果 (x=0,y=1) 则把答案异或上当前位。

D. Diane

构造一个长为 (n) 的串，使得每种子串均出现奇数次。

场上想复杂了。考虑一个长为 (k) 的串 (aaadots a)，(k) 是奇数，那么 (a)、(aa)、(dots) 的奇偶性分别是奇、偶、(dots)。(k) 是偶数时类似。考虑两个长为 (k) 和 (k-1) 的这样的串，中间用一个 (b) 连接，由于 奇+偶=奇，最终所有串都出现奇数次。这里取 (k=lfloor frac{n}{2} floor) 即是答案。注意 (n) 是奇数时，应用 (bc) 连接。

E. You

给定一棵树。每次删去一个点，这个点权值 (a_u) 定为与它相连且未删去的点的个数。对每个 (kin[1,n]) ，求 (gcd(a_1,a_2,dots,a_n)=k) 的序列个数，方案不同当且仅当 ({a_n}) 不同。

首先要把删点转换成给边定向，也就是说删去一个点就把与它相连的边指向它，权值就变成了入度。有 (n-1) 条边，就共有 (2^{n-1}) 种序列。先考虑 (kgeq 2) 的答案。由于 (k geq 2)，所以对于叶子结点的边，只能指向父亲。那么删去这些叶子结点后，新的叶子结点的入度就一定不为 0 了，当前入度记为 (a_u)，儿子都已经定了，只有指向父亲的这条边还可能有贡献，最终的入度只可能是 (a_u) 或者 (a_u+1)，又由于 (kgeq 2) 所以 (a_u otequiv a_u+1 pmod k)，只可能其中一个是 (k) 的倍数，要使得 (k|a_u) 那么方案是唯一的。所以对所有 (kgeq 2)，答案要么是 0 要么是 1。由于每条边只会有 1 的贡献，所以最终所有点的入度和一定是 n-1，又要是 (gcd=k)，那么每个 (a_u) 都是 (k) 的倍数，那么一定有 (k|n-1)。所以只需要暴力判断 (n-1) 的因子即可。这样就可以求出所有 (kgeq 2) 的答案，那么 (k=1) 的答案就是 (2^{n-1}) 减去这些的和。