多段图

多段图问题是求由s到t的最小成本路径。

图中的结点被划分成 k≥ 2个不相交的集合Vi , 1≤i≤k,其中V1和Vk分别只有一个结点 s (源点) 和t ( 汇点)。

多段图向前处理的算法

1、算法执行过程

COST[j]=c(j,r)+COST[r];

第4段            COST(4,9) = c(9,12) = 4

                 COST(4,10) = c(10,12) = 2

                 COST(4,11) = c(11,12) = 5

第3段            COST(3,6) = min{6+COST(4,9),5+COST(4,10)}= 7

                 COST(3,7) = min{4+COST(4,9),3+COST(4,10)} = 5

                 COST(3,8) =min{5+COST(4,10),6+COST(4,11)} = 7

第2段            COST(2,2) = min{4+COST(3,6) , 2+COST(3,7), 1+COST(3,8)} = 7

                 COST(2,3) = 9

                 COST(2,4) = 18

                 COST(2,5) = 15

第1段            COST(1,1) = min{9+COST(2,2),7+COST(2,3), 3+COST(2,4),2+COST(2,5)} = 16

S到t的最小成本路径的成本 ＝ 16

2、最小路径的求取

    记 D(i,j)＝每一COST(i,j)的决策 即，使c(j,l)+COST(i+1,l)取得最小值的l值。

    例：D(3,6) = 10, D(3,7)= 10 D(3,8) = 10

        D(2,2) = 7,  D(2,3) = 6,D(2,4) = 8,D(2,5) = 8

        D(1,1) = 2

    根据D(1,1)的决策值向后递推求取最小成本路径：  

        ● v₂=D(1,1)=2

        ● v₃ = D(2,D(1,1)) = 7

        ● v₄ = D(3,D(2,D(1,1))) = D(3,7) = 10

    故由s到t的最小成本路径是：1→2→7→10→12

3、算法描述

多段图的向前处理算法

procedure   FGRAPH(E,k,n,P)

real COST(n); int  D(n-1), P(k), r, j, k, n;

COST[n]=0;

for j=n-1 downto 1 do

   {  寻找结点r, 满足<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)值最小

     COST[j]=c(j,r)+COST[r];

     D[j]=r ;

  }

P[1]=1;    P[k]=n;

for j=2 to k-1 do  P[j]=D[P[j-1]] ;

end FGRAPH

4、多段图向前处理的算法用邻接表表示

邻接表是图的一种链式存储结构, 对图中的每个顶点建立一个单链表, 链表中的结点有3个域, 分别存储顶点, 边的成本和下一个结点的指针.

多段图向后处理的算法

1、算法的执行过程

第2段            BCOST(2,2) = 9

                 BCOST(2,3) = 7

                 BCOST(2,4) = 3

                 BCOST(2,5) = 2

第3段            BCOST(3,6) =   min{BCOST(2,2)+4,BCOST(2,3)+2} = 9

                 BCOST(3,7) =   min{BCOST(2,2)+2,BCOST(2,3)+7,BCOST(2,5)+11} = 11

                 BCOST(3,8) =   min{BCOST(2,4)+11, BCOST(2,5)+8} = 10

第4段            BCOST(4,9) =min{BCOST(3,6)+6,BCOST(3,7)+4} = 15

                 BCOST(4,10) =min{BCOST(3,6)+5,BCOST(3,7)+3,BCOST(3,8)+5} = 14

                 BCOST(4,11) =min{BCOST(3,8)+6} = 16

第5段            BCOST(5,12) =min{BCOST(4,9)+4,BCOST(4,10)+2, BCOST(4,11)+5}=16

S到t的最小成本路径的成本＝ 16

2、最小路径的求取

    记 BD(i,j)＝每一COST(i,j)的决策即，使COST(i-1,l)+c(l,j)取得最小值的l值。

    例：BD(3,6) = 3, BD(3,7)= 2 ,BD(3,8) = 5

        BD(4,9) = 6,  BD(4,10) = 7, BD(4,11) = 8

        BD(5,12) = 10

    根据D(5,12)的决策值向前递推求取最小成本路径：  

        ● v₄ = BD(5,12)=10

        ● v₃ = BD(4,BD(5,12)) = 7

        ● v₂ = BD(3,BD(4,BD(5,12))) = BD(3,7) = 2

    故由s到t的最小成本路径是：1→2→7→10→12

 

3、算法描述  

BCOST(j)=min{BCOST(l)+ c( l , j)}

procedure   BGRAPH(E,k,n,P)

real BCOST(n); int  D(n-1), P(k), r, j, k, n;

BCOST[1]=0;

for j=2 to n do

   {  寻找结点r, 满足<r, j>∈E且使BCOST(r)+c(r, j)值最小

     BCOST[j]= BCOST[r]+c(r, j);

     D[j]=r ;

  }

P[1]=1;    P[k]=n;

for j=k-1 downto  2   do  P[j]=D[P[j+1]] ;

end BGRAPH

4、向后处理算法多段图用反邻接表来存储

多段图问题的应用实例

      将n个资源分配给r个项目的问题：如果把j个资源，0≤j≤n，分配给项目i，可以获得N(i,j)的净利。求效益最大的分配方案