May Lunchtime 2021 Division 1 Coding Competition | CodeChef
NUMCOMP1
对于质数 (p)，显然，所有 (kp) 会被合并到一起，设 (S(p)=kp)。若两个质数 (x,y) 满足 (xyle n)，那么 (S(x),S(y)) 会被并到一起。而最优方案显然是所有质数都以 (2) 为媒介相连，只要计算最大的 (2ple n)。
CHESUB
简单dp（略）
TRTOKENS
进行dfs，先处理所有 (u) 的子树，若 (u) 为空，最优的一系列移动相当于将当前 (subtree(u)) 中最深的token移动到 (u)。若 (u) 不空，啥事别干。数据结构维护一下
INTMST
若原图中桥的个数 (>1)，那么这些桥一定会出现在所有答案中，无法确定答案。
否则，先询问 ((1,2,dots n)(n,1,2dots n-1)(n-1,n,1dots n-2)dots)，即每次把左右一个滚到最前面。考虑一条边 (x)，若 (x) 为桥，它会出现在所有答案中。否则，存在一个时刻 (w(x)=1)，这时它一定在答案中，下一次询问中 (w(x)=n)，而它又不是桥，那么一定不在答案中。其它时刻，(w(x)) 不断变小，可能存在一次由不在答案中变为在答案中（不重要，已经做完啦）。
SIMARRAY
最优方案中，对于 (R_i) 相同的一段极大区间，(R_i) 一定选取这段区间的最优值，即 (frac{sum A_iB_i}{sum B^2_i})。可以采用反证法证明（考虑若取不到最优值，合并两段区间后更优）。由此可以得到 (O([n^2,n^3])) 的dp。
进一步推导结论：设所有位置最优解的位置为 (p_1,p_2,dots p_m)，若 (p_i<p_{i+1})，则 (R_i=R_{i+1})，可以将它们合并。用单调栈优化至 (O(n))
PARTODD
约定 (sum[1,i]) 为奇数的 (i) 为红色，否则为黑色。原序列被划分成了红黑相间的颜色段。
(n^3) dp显然，可用线段树优化至 (n^2log n)。贪心地观察发现，对于每个位置 (i)，可能成为最优解的转移只有两个，一个是能跳到的最大位置 (b_x) ，另一个是 (b_x) 往回走两段的 (c_x)，由此可以弄到 (n^2)
考虑连续三段，如果 (sum<m)，就把它们并在一起，不断合并，最后任意连续三段都 (>m)，那么只有 (3lceilfrac{n}{m} ceil) 段，若有解则答案 (le 3lceilfrac{n}{m} ceil)。那么对于 (mle sqrt{nlog n})，使用 (O(n)) dp；否则，只有 (sqrt{frac{n}{log n}}) 种答案，对每一种二分判断一下界限，(O(nlog n))，总复杂度 (O(nsqrt{nlog n}))。
假设当前在 (x)，若 (b_x) 可达 (n)，走 (b_x) 一定更优。而 (x) 可达 (n) 当且仅当 (c_x) 可达。所以每次通过不断跳 (c) 判断 (b_x) 是否可行，复杂度 (summin(n,(frac{n}{m})^2)=nsqrt{n})。
进一步优化，动态维护所有可达 (n) 的位置。考虑随着 (m) 增大，每个颜色段中可达的位置一定是一段后缀，并不断延长，且每次至少延长 (1)，从后往前扫即可。知道所有可达位置后，直接贪心地向后跳复杂度为 (sumfrac{n}{m}=nlog n)
注意：本题解漏洞较多（例如颜色段划分方法），还有一些细节没有介绍