形变仿真中的积分方法

形变仿真中，积分方法主要有显式积分方法（Explicit time integration scheme）、隐式时间积分方法（Implicit time integration scheme）等。

下面介绍 中心插值法、Houbolt 方法、Wilson-( heta) 方法、以及 Newmark 方法。（这些方法应该也是包含在显式、隐式方法中的）

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0、变量定义

假定 (t) 时刻，质点的位置、速度、加速度分别为 (oldsymbol{u}_t) 、(dot{oldsymbol{u}}_t) 、 (ddot{oldsymbol{u}}_t) 。仿真过程中，时间间隔为 $$

1、中心插值法

在中心插值法中，是按中心差分将速度和加速度矢量离散化为：

[egin{aligned} dot{oldsymbol{u}}_t = frac{1}{2Delta t}(oldsymbol{u}_{t + Delta t} - oldsymbol{u}_{t - Delta t}) \ ddot{oldsymbol{u}}_t = frac{1}{2Delta t^2}(oldsymbol{u}_{t + Delta t} - 2oldsymbol{u}_{t} + oldsymbol{u}_{t - Delta t}) end{aligned} ]

在中心插值法中，将 (t) 时刻的速度和加速度用相邻时刻的位移来表示。

2、线性加速度法和 Wilson-( heta) 法

线性加速度法和 Wilson-( heta) 法，都是属于逐步积分法。

（略）

3、Newmark 方法

Newmark 在 1959 年提出的逐步积分格式，称为 Newmark 方法。它的基本假定是

[egin{aligned} dot{oldsymbol{u}}_{t + Delta t} = dot{oldsymbol{u}}_{t} + [(1-delta)ddot{oldsymbol{u}}_{t} + delta ddot{oldsymbol{u}}_{t + Delta t}] Delta t \ oldsymbol{u}_{t + Delta t} = oldsymbol{u}_{t} + dot{oldsymbol{u}}_{t} Delta t + [(-frac{1}{2} - alpha)ddot{oldsymbol{u}}_{t} + alpha ddot{oldsymbol{u}}_{t + Delta t}] Delta t^2 end{aligned} ]

其中，(delta) 和 (alpha) 是按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数。当 (delta = frac{1}{2}) ， (alpha = frac{1}{6}) 时，它就是线性加速算法。所以，Newmark 方法也可以理解为线性加速法俄一个小延伸。

Newmark 法最初提出作为无条件稳定的一种积分格式是常平均加速度法，即假定从 (t) 到 (t + Delta t) 时刻，加速度不变，取为常数 (frac{1}{2}(ddot{oldsymbol{u}}_{t} + ddot{oldsymbol{u}}_{t + Delta t})) 。此时，取 (delta = frac{1}{2}) ， (alpha = frac{1}{4}) 。常平均加速度法是应用的最为广泛的逐步积分方法之一。研究表明，当 (delta ge 0.5) ， (alpha ge 0.25(0.5 + delta)^2) 时，Newmark 方法是无条件稳定的。

4、Houbolt 方法

（略）

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小结