bzoj3992 [SDOI2015]序列统计

Description

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题 的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

Input

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

Output

一行，一个整数，表示你求出的种类数mod 1004535809的值。

Sample Input

4 3 1 2
1 2

Sample Output

8

HINT

【样例说明】

可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【数据规模和约定】

对于10%的数据，1<=N<=1000；

对于30%的数据，3<=M<=100；

对于60%的数据，3<=M<=800；

对于全部的数据，1<=N<=109，3<=M<=8000，M为质数，1<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复

正解：$DP$+$NTT$。

首先考虑暴力$DP$，$f[i][j]$表示统计到第$i$位，乘积为$j$的方案数，然后很显然，$f[i][(k*p)mod m]=f[i-1][k]*sum[p]$，其中$sum[p]$为p这个数出现的次数。

但是这样是肯定会$T$飞的，所以我们考虑优化。话说这个优化还是蛮玄学的。。

我们可以把乘法变成加法，然后两个数相乘就是它们的对数相加，当然底数要相同，并且对数肯定要是整数。

因为$m$是质数，所以$m$必定有原根。我们又知道，原根的$[1,m-1]$次方对应了$[1,m-1]$这些数，所以我们可以求出$[1,m-1]$的离散对数，也就是使得原根$g^{x}=i$的$x$（然而我没学过所以不会。。）

设$ind[i]$为$i$在模$m$意义下的离散对数，于是$f[i][(ind[k]+ind[p])mod (m-1)]=f[i-1][ind[k]]*sum[ind[p]]$（注意这里第二维的取值范围是$m-1$，所以还要加一个特判）

因为答案对$1004535809$取模，所以显然这个方程可以用$NTT$优化，但是$n$的范围很大，有$10^{9}$级别，不过我们在卷积外面套一个快速幂就行了。

我们先用快速幂算出$sum$的$n$次方，然后再用$f[0]*sum$，最后输出$f[n][ind[x]]$，就是我们所要的答案。

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#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define rhl (1004535809)
#define inf (1<<30)
#define NN (100010)
#define G (3)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int rev[NN],ind[NN],N,n,m,x,s,lg,gg;
ll ans[NN],a[NN],b[NN],sum[NN];

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
    RG ll ans=1;
    while (b){
    if (b&1) (ans*=a)%=rhl;
    (a*=a)%=rhl,b>>=1;
    }
    return ans;
}

il void NTT(ll *a,RG int n,RG int f){
    for (RG int i=0;i<n;++i) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (RG int i=1;i<n;i<<=1){
    RG ll gn=qpow(G,(rhl-1)/(i<<1)),x,y;
    for (RG int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
        RG ll g=1;
        for (RG int k=0;k<i;++k,(g*=gn)%=rhl){
        x=a[j+k],y=g*a[j+k+i]%rhl;
        a[j+k]=(x+y)%rhl,a[j+k+i]=(x-y+rhl)%rhl;
        }
    }
    }
    if (f==1) return; reverse(a+1,a+n); RG ll inv=qpow(n,rhl-2);
    for (RG int i=0;i<n;++i) (a[i]*=inv)%=rhl;
    for (RG int i=m;i<n;++i) (a[i%(m-1) ? i%(m-1) : m-1]+=a[i])%=rhl,a[i]=0; return;
}

il void NTTpow(ll *a,RG int b){
    for (RG int i=0;i<N;++i) ans[i]=a[i]; b--;
    while (b){
    NTT(a,N,1);
    if (b&1){
        NTT(ans,N,1);
        for (RG int i=0;i<N;++i) (ans[i]*=a[i])%=rhl;
        NTT(ans,N,-1);
    }
    for (RG int i=0;i<N;++i) (a[i]*=a[i])%=rhl;
    NTT(a,N,-1); b>>=1;
    }
    for (RG int i=0;i<N;++i) a[i]=ans[i]; return;
}

il int isroot(RG int x){
    RG int l=1;
    for (RG int i=1;i<m-1;++i){
    (l*=x)%=m;
    if (l==1) return 0;
    }
    return 1;
}

il void pre(){
    for (RG int i=2;i<m;++i) if (isroot(i)){ gg=i; break; }
    RG int l=1; for (RG int i=1;i<m;++i) (l*=gg)%=m,ind[l]=i; return;
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(),x=gi(),s=gi(); pre();
    for (RG int i=1,v;i<=s;++i) sum[ind[v=gi()]]++;
    for (N=1;N<=(m<<1);N<<=1) lg++; a[ind[1]]=1,sum[0]=0;
    for (RG int i=0;i<N;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
    NTTpow(sum,n); NTT(a,N,1),NTT(sum,N,1);
    for (RG int i=0;i<N;++i) (a[i]*=sum[i])%=rhl;
    NTT(a,N,-1); printf("%lld",a[ind[x]]); return;
}

int main(){
    File("sequence");
    work();
    return 0;
}