题意
有(N)个叉子，对应的叉子附带有两种各(A_i)个和(B_i)个的食材，每次选出两个叉子和对应的食材，将这两种食材按照某种顺序插到叉子上。其中，叉子之间都是不同的（不过叉子使用的顺序没有区别），而每种食材都是没有区别的（也就是说，所有是同一种类的食材都是一样的）。求能够有多少种不同的选取方案。
- (N leq 2 imes10^6)
- (A_i,B_ileq 2 imes 10^3)
分析
实际上这个过程相当于是选出两对(A_i)和(B_i)，然后进行一个类似二进制排列的过程……不难看出这个过程就是(inom{A}{A+B}=inom{B}{A+B})的方案数，这里(A)和(B)就是选出来的东西的和。所以实际上答案就是$$sumlimits_{i=1}nsumlimits_{j=1}{i-1}inom{A_i+A_j}{A_i+B_i+A_j+B_j}$$
（我竟然没想出来这个非常水的做法）我们考虑另一个组合意义，实际上这个组合数就是说从((-A_i,-B_i))走到((A_j,B_j))的方案数，我们可以发现这个东西很容易计算，只需要做一个( ext O(MAX^2))的DP，初始的时候将所有(i)对应的点(+1)就可以计算了。然后我们考虑最终的答案$$sum_{i}sum_{j<i}f(i,j)=frac{1}{2}sum_isum_jf(i,j)-sum_{i}f(i,i)$$
就做完了，时间复杂度( ext O(MAX^2+n))。
反思一下，其实这个做法非常简单和显然，但是我却忽略了将组合数暴力计算的方法。长期以来我都用的是阶乘的方法计算，但是实际上这种考虑暴力计算的方法不应该忘掉。更本质地说，这就是某种分拆贡献的方法。