梯度下降算法

先是几个英文：

linear regression线性回归    gradient descent梯度下降   normal equations正规方程组

notation符号：

m denote（指示） the number of training examples

x denote the input variables(also called features)

y denote the output variables(also called target variables)

(x,y) training example

第i行training example （x^（i）,y^(i)）

n denote features的数量

比如根据房子大小判断房子价钱这个例子，有m个例子就是说有m个(x,y)数据，如果x不止一个，就是说我们还要根据房子的位置啊，房间个数等特征来判断房子价钱，那么这个n就是这些特征的数量。x1是size，x2是beddrooms，那么n=2

开始算法：

现在有一个学习函数h，要使得h(x)能符合结果Y,h(x)可以用下面这样的式子来表示：

  又称作hypothesis

θ在这儿称为参数，在这儿的意思是调整feature中每个分量的影响力，就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。首先对θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量。

又另(这个1/2就记一下吧，前面乘上的1/2是为了在求导的时候，这个系数就不见了。)

好的现在我们要让J（Θ）最小对吧。

gradient descent:就是想象你在下山，你要最最陡下降最快的那条路到达山底（J（Θ）最小值），所以这里要求个偏导。

当单个特征值时，上式中j表示系数(权重)的编号，右边的值赋值给左边θ_j从而完成一次迭代。

 单个特征的迭代如下：

多个特征的迭代如下：

 

上式就是批梯度下降算法(batch gradient descent)，当上式收敛时则退出迭代，何为收敛，即前后两次迭代的值不再发生变化了。一般情况下，会设置一个具体的参数，当前后两次迭代差值小于该参数时候结束迭代。注意以下几点：

(1) a 即learning rate，决定的下降步伐，如果太小，则找到函数最小值的速度就很慢，如果太大，则可能会出现overshoot the minimum的现象；这个参数一般都是手动设置的，简单的说就是你跨步子的大小，跨得太小就会花很长的时间来收敛。反之……

 

(2) 初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；

 

(3) 越接近最小值时，下降速度越慢；

 

(4) 计算批梯度下降算法时候，计算每一个θ值都需要遍历计算所有样本，当数据量的时候这是比较费时的计算。

 

批梯度下降算法的步骤可以归纳为以下几步：

 

(1)先确定向下一步的步伐大小，我们称为Learning rate ；

 

(2)任意给定一个初始值：θ向量，一般为0向量

 

(3)确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新θ向量

 

(4)当下降的高度小于某个定义的值，则停止下降；

 

 

这个batch gradient descent可不是个好东西，因为它每一步都要遍历所有的examples，如果样本数很大，几百万，上千万的时候，这数基本上就是没法算了。所以就有了下面这个随机梯度算法：

stochastic gradient descent 随机梯度下降算法

每次迭代只是考虑让该样本点的J(θ)趋向最小，而不管其他的样本点，这样算法会很快，但是收敛的过程会比较曲折，整体效果上，大多数时候它只能接近局部最优解，而无法真正达到局部最优解。所以适合用于较大训练集的case。

这里整个算法才用了j个training examples