2018年宝鸡市三检理科数学题目解答

一、选择题：

第2题(判断函数的奇偶性或对称性)

函数(f(x)=cfrac{4^x+1}{2^x})的图像【】

A、关于原点对称(;;;;;) B、关于(x)轴对称(;;;;;) C、关于(y)轴对称(;;;;;) D、关于直线(y=x)轴对称(;;;;;)

分析：注意到(f(x)=cfrac{4^x+1}{2^x}=cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x})，

则(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x))，故函数(f(x))为偶函数，故选B。

解后反思：

1、积累常见函数的奇偶性很重要，比如(f(x)=e^x+e^{-x})为偶函数，(f(x)=e^{|x|})为偶函数，(f(x)=e^x-e^{-x})为奇函数，等等。

2、函数的奇偶性

第5题(限定条件下的均值不等式使用)

若正数(x，y)满足(x+3y=5xy)，则(3x+4y)的最小值是【】

A、(cfrac{24}{5};;;;;) B、(cfrac{28}{5};;;;;) C、(5;;;;;) D、(6;;;;;)

分析：给已知式子(x+3y=5xy)，两边同除以 (xy)得到，(cfrac{3}{x}+cfrac{1}{y}=5)，

则问题转化为已知(cfrac{3}{x}+cfrac{1}{y}=5)，求(3x+4y)的最小值

则(3x+4y=cfrac{1}{5}(3x+4y)(cfrac{3}{x}+cfrac{1}{y}))，

(=cfrac{1}{5}(9+4+cfrac{12y}{x}+cfrac{3x}{y})ge cfrac{1}{5}(13+2sqrt{36})=5)，

当且仅当(cfrac{12y}{x}=cfrac{3x}{y})且(x+3y=5xy)时，即(x=1， y=cfrac{1}{2})时取得等号。

故选C。

解后反思：

1、务必注意限定条件的给出方式，比如题目若给定(cfrac{3}{x}+cfrac{1}{y}=5)就比给定(cfrac{x}{y}+3=5x)要简单的多。

2、学习方法的改造和提升

第11题(已知零点的个数，求参数的取值范围)

若函数(f(x)=m-x^2+2lnx)在区间([cfrac{1}{e^2}，e])上有两个不同的零点，则实数(m)的取值范围是【】

$A.(1，e^2-2]$ $B.[4+cfrac{1}{e^4}，e^2-2]$ $C.(1，4+cfrac{1}{e^4}]$ $D.[1，+infty)$

法1：先数后形，分离参数，得到(m=x^2-2lnx)，

令(h(x)=x^2-2lnx(xin [cfrac{1}{e^2}，e]))，用导数研究函数的单调性，以画出大致图像。

(h'(x)=2x-cfrac{2}{x}=cfrac{2x^2-2}{x}=cfrac{2(x-1)(x+1)}{x})，

故在((cfrac{1}{e^2}，1))上，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

在((1，e))上，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

故(h(x)_{min}=h(1)=1)，

端点值(h(cfrac{1}{e^2})=4+cfrac{1}{e^4})，(h(e)=e^2-2)，且(h(e)>h(cfrac{1}{e^4}))，

在同一个坐标系中作出函数(y=m)和函数(y=h(x))的图像，

要使两个函数的图像有两个交点，

由图像可知，(1< m leqslant 4+cfrac{1}{e^2})。故选(C).

法2：利用参数的几何意义，直接从形上考虑？待编辑

参考图像

二、填空题：

三、解答题：

第17题(求数列的通项公式和等差数列的判断)
设${a_n}$是首项为$a_1$，公比为$q$的等比数列，$S_n$为数列${a_n}$的前$n$项和。

(1)已知(a_2=2)，且(a_3)是(S_1，S_3)的等差中项，求数列({a_n})的通项公式；

(2)当(a_1=1)，(q=2)时，令(b_n=log_4(S_n+1))，求证：数列({b_n})是等差数列。

第19题(概率，贝努里概型)
某商场举行有奖促销活动，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有一个红球，则获得二等奖；若没有红球，则没有获奖，

(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。

【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件(A)，“抽奖一次能获二等奖”为事件(B)，

“顾客抽奖一次能获奖”为事件(C)，则事件(A、B)是互斥事件，且(C=A+B)，两次抽奖是相互独立事件，

则(P(A)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{20}{100})，

(P(B)=cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{50}{100})

故(P(C)=P(A+B)=cfrac{70}{100}=cfrac{7}{10})。

【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件(D)，

则(P(C)=1-P(D)=1-cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{7}{10})。

(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得一等奖的次数为(X)，求(X)的分布列、数学期望和方差。

由于顾客在每次抽奖过程中，中一等奖的概率都为(cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}cdot cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=cfrac{1}{5})，

那么此人抽奖3次，相当于做了3次独立重复实验，故(Xsim B(3，cfrac{1}{5}))，(X=0，1，2，3)；

即(P(X=k)=C_3^kcdot (cfrac{1}{5})^k(1-cfrac{1}{5})^{3-k})，(k=0，1，2，3)；

则(P(X=0)=C_3^0cdot (cfrac{1}{5})^0(1-cfrac{1}{5})^{3-0}=cfrac{64}{125})，

(P(X=1)=C_3^1cdot (cfrac{1}{5})^1(1-cfrac{1}{5})^{3-1}=cfrac{48}{125})，

(P(X=2)=C_3^2cdot (cfrac{1}{5})^2(1-cfrac{1}{5})^{3-2}=cfrac{12}{125})，

(P(X=3)=C_3^3cdot (cfrac{1}{5})^3(1-cfrac{1}{5})^{3-3}=cfrac{1}{125})，

分布列略，数学期望为(EX=3 imes cfrac{1}{5}=cfrac{3}{5})

方差为(DX=3 imes cfrac{1}{5} imes (1-cfrac{1}{5})=cfrac{12}{25})

解后反思：

1、求复杂事件的概率，需要将复杂事件分化为几个简单的事件，且必须弄清楚个事件之间的关系，这会决定后续的计算是用加法还是乘法。

2、(n)次独立重复实验中，离散型随机变量(Xsim B(n，p))，则(EX=np)，(DX=np(1-p))。

第21题【已知函数无零点，求参数的取值范围或最值】已知函数$f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a$，$g(x)=cfrac{ex}{e^x}$，

(1)若函数(f(x))在区间((0，cfrac{1}{2}))上无零点，求实数(a)的最小值。

【法1】(分离参数，参数形式简单，函数复杂)

碰到这类问题，我们的第一反应往往是分离参数，然后数形结合求解，但是这个方法不见得是很恰当和很灵活的。

先变形为(a(1-x)=2+2lnx-2x)，再分离参数为(a=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，其中(xin (0，cfrac{1}{2}))，

令函数(h(x)=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，接下来用导数研究单调性，准备做函数的大值图像，

(h'(x)=cfrac{(cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=cfrac{2lnx+cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2})

暂时没法看透(h'(x))的正负值，也无法判断原函数(h(x))的增减性，

故再设(h'(x))的分子函数为(m(x)=2lnx+cfrac{2}{x}-2)，

(m'(x)=cfrac{2}{x}-cfrac{2}{x^2}=cfrac{2x-2}{x^2})，

由于(0< x <cfrac{1}{2})，故(m'(x) <0)，即(m(x))单调递减，

故函数(m(x))的最小值的极限为(m(cfrac{1}{2})=2lncfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0)

编外话：由分子函数(m(x))的最小值的极限为正，说明函数(h'(x))的分子都为正，

故(h'(x)=cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0)，故函数(h(x))在(xin (0，cfrac{1}{2}))上单调递增，

故(h(x))的最大值的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{2+2lncfrac{1}{2}-2 imescfrac{1}{2}}{1-cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2))

要使直线(y=a)与函数(y=h(x)(0< x <cfrac{1}{2}))没有交点，

则(a)的取值范围是(age 2(1-2ln2))，故(a_{min}=2-4ln2)。

【法2】(分离参数，参数形式复杂，函数简单)

将原方程((2-a)x-2(1+lnx)+a=0)，变形为(cfrac{2-a}{2}=cfrac{lnx}{x-1})，

令(h(x)=cfrac{lnx}{x-1})，

则(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=cfrac{1-cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2})

令(m(x)=1-cfrac{1}{x}-lnx)，

则(m'(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1-x}{x^2}>0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

故函数(m(x))在((0，cfrac{1}{2}))单调递增，

故(m(x)_{max})的极限为(m(cfrac{1}{2})=1-2-lncfrac{1}{2}=ln2-1<0)

则函数(h'(x)=cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

函数(h(x))在((0，cfrac{1}{2}))上单调递减，

则(h(x)_{min})的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{lncfrac{1}{2}}{cfrac{1}{2}-1}=2ln2)

要使得原方程无解，必须满足函数(y=cfrac{2-a}{2})与函数(y=h(x))没有交点，

即(cfrac{2-a}{2}leq 2ln2)，即(age 2-4ln2)

故(a_{min}=2-4ln2)。

【法3】要是不用分离参数的方法，我们还可以这么分析呢？我们这样想，分离参数法是从数的角度来求解的，那么我们可以换个思路，想想能不能从形上入手分析？这时候，最好将原方程(f(x)=0)变形得到两个函数(h(x)=m(x))，其中这两个函数最好是基本初等函数，这样它们的图像我们不用费事就能做出来，同时让参数配备个几何意义那是最好的选择，比如斜率等等，故求解如下：

由于函数(f(x)=0)在(xin (0，cfrac{1}{2}))上没有零点，

则((2-a)x-2(1+lnx)+a=0)在(xin (0，cfrac{1}{2}))上没有零点，

变形为((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <cfrac{1}{2}))

这样左端为函数(h(x)=(2-a)(x-1))，是过定点((1，0))斜率是(2-a)的直线段，

右端为函数(m(x)=2lnx)，是过定点((1，0))的对数型函数的一部分，图像

当直线段过点((1，0))和((cfrac{1}{2}，2lncfrac{1}{2}))时，斜率为(k=cfrac{2-2lncfrac{1}{2}}{1-cfrac{1}{2}}=4ln2)，

由图像可知，要让这两个定义在(xin (0，cfrac{1}{2}))上的函数没有交点，

只需要函数(h(x))的斜率(2-a)小于等于斜率(k=4ln2)即可，

故(2-aleq 4ln2)，即则(a)的取值范围是(age 2(1-2ln2))，

故(a_{min}=2-4ln2)。

解后反思：
1、法1是这类问题的通用解法，但是分离参数后得到的右端的函数，其单调性用导数判断可能很辛苦，这个题目就说明了这一点，而且用到了二阶导数，一般学生根本分不清一阶导数和二阶导数的关系，所以慎重使用。

2、法2比法1虽然都是分离参数法，但是我们感觉法2比法1要简单，其主要原因是法2采用的策略是，让函数简单些，让参数复杂些，这样运算量就小很多了。

3、法3将方程分离成立两个基本初等函数的形式，这样就可以很快很容易的使用形来解决问题了，到此我们也能体会命题人的意图，能将问题简化为我们学习过的，简单模型的学生，是不是其思维具有更好的可塑性。

第22题(坐标系与参数方程)

已知圆锥曲线(C：egin{cases}x=2cosalpha\y=sqrt{3}cosalphaend{cases}(alpha为参数))和定点(A(0，sqrt{3}))，(F_1，F_2)是此圆锥曲线的左右焦点，以原点为极点，以(x)轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求直线(AF_2)的直角坐标方程；

(2)经过点(F_1)且与直线(AF_2)垂直的直线(l)交此圆锥曲线于(M，N)两点，求(||MF_1|-|NF_1||)的值。

分析：(1)消参数得到曲线(C)的直角坐标方程为(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)；

由于(A(0，sqrt{3}))，(F_2( 1，0))，故直线方程为(sqrt{3}x+y-sqrt{3}=0)。

此时直线的斜率为(k_0=-sqrt{3})；

(2)由上可知，直线(l)的斜率为(k_1=cfrac{sqrt{3}}{3})，即倾斜角为(alpha=cfrac{pi}{6})，

又点(F_1(-1，0))，故直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=x_0+cosalphacdot t\y=y_0+sinalpha cdot t end{cases}(t为参数))

即(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2} t\y=0+cfrac{1}{2} t end{cases}(t为参数))

将其代入曲线(C)的直角坐标方程(cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)；

整理为(13t^2-12sqrt{3}t-36=0)，

容易证明(Delta >0)，令(M，N)分别对应的参数为(t_1，t_2)，

则有(t_1+t_2=cfrac{12sqrt{3}}{13}>0)，(t_1t_2=-cfrac{36}{13}<0)；

则(t_1，t_2)异号，(t_1>0，t_2<0)或(t_1<0，t_2>0)

则(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2)，或者 (|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2)

则(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=cfrac{12sqrt{3}}{13})。

解后反思：

1、有学生得到故直线(l)的参数方程为(egin{cases}x=-1+3m\y=0+sqrt{3}m end{cases}(m为参数))

这个也是直线(l)的参数方程，不过这个方程不是直线的参数方程的标准形式，也就是说(m)和(t)的含义不一样。

2、我们可以将这个非标准形式的参数方程转化为标准形式的参数方程。如下转化：

(egin{cases}x=-1+3m=-1+cfrac{3}{sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}}cdot sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}cdot m \y=0+cfrac{sqrt{3}}{sqrt{3^2+(sqrt{3})^2}}cdotsqrt{3^2+(sqrt{3})^2}cdot m end{cases}(m为参数))

即(egin{cases}x=-1+cfrac{3}{2sqrt{3}}cdot 2sqrt{3}cdot m \y=cfrac{sqrt{3}}{2sqrt{3}}cdot 2sqrt{3}cdot m end{cases}(m为参数))

(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2}cdot 2sqrt{3}cdot m \y=cfrac{1}{2}cdot 2sqrt{3}cdot m end{cases}(m为参数))

此时令(2sqrt{3}m=t)，则上述参数方程变形为

即(egin{cases}x=-1+cfrac{sqrt{3}}{2}cdot t\y=cfrac{1}{2}cdot t end{cases}(t为参数))