偶函数性质的推广

前言

如果函数(f(x))为偶函数，则其必然满足，(f(-x)=f(x))，且有(f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(|x-0|))；其实在涉及偶函数的考查中，用到最多见的变形是使用(f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(|x-0|))；

应用举例

已知函数(y=f(x)=e^x+e^{-x})，求解不等式(f(x)>f(2-x))中(x)的取值范围。

法1：[分类讨论，很繁琐的思路]

先判断函数的定义域为(R)，且为偶函数；

又由于(x>0)时，(e^x>1)且(0<cfrac{1}{e^x}<1)，则(f'(x)=e^x-cfrac{1}{e^x}>0)，

则可知在((-infty，0])上单调递减，在([0，+infty))上单调递增。

若针对两个自变量(x)和(2-x)分类讨论，则得到以下四种情形：

Ⅰ.(left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xge 0}\{x>2-x}end{array} ight.)或(quad)Ⅱ.(left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xleq 0}\{x<2-x}end{array} ight.)

或Ⅲ.(left{egin{array}{l}{x>0}\{2-xleq 0}\{-x<2-x}end{array} ight.)或(quad)Ⅳ.(left{egin{array}{l}{x<0}\{2-xge 0}\{-x>2-x}end{array} ight.)

解Ⅰ得到，(1<xleq 2)；解Ⅱ得到，(xin varnothing)；

解Ⅲ得到，(xge 2)；解Ⅳ得到，(xin varnothing)；

求并集得到(x)的取值范围为(x>1)，即(xin (1，+infty))。

法2：[利用偶函数的性质，简洁明快]

先判断函数的定义域为(R)，在((-infty，0])上单调递减，在([0，+infty))上单调递增，且为偶函数；

故由(f(x)>f(2-x))变形得到，(f(|x|)>f(|2-x|))对于偶函数而言，(f(x))(=)(f(-x))(=)(f(|x|))(=)(f(|x-0|))，故由(f(x))(>)(f(2-x))得到，即(f(|x|))(>)(f(|2-x|))，也即(f(|x-0|))(>)(f(|2-x-0|))， (quad)，

又由于(|x|)和(|2-x|)都位于区间([0,+infty))上，且已知函数(f(x))在([0,+infty))上单调递增，

故得到(|x|>|2-x|)，则(x^2>(2-x)^2)，解得(x>1)。即(xin (1，+infty))。

总结推广

若函数(f(x))为偶函数，对称轴为直线(x=0)；其满足(f(x)=f(-x)=f(|x|))；如果求解(f(x_1)>f(x_2))，往往首先转化为(f(|x_1-0|)>f(|x_2-0|))，其中(|x_1-0|)和(|x_2-0|)的意义分别表示自变量(x_1)和(x_2)到对称轴(x=0)的距离，然后利用单调性去掉符号法则(f)求解即可；

引申，函数(g(x))非偶函数，对称轴为直线(x=2)；如果求解(g(x_1)>g(x_2))，则利用单调性可以得到(|x_1-2|)(>)(|x_2-2|)【或(|x_1-2|)(<)(|x_2-2|)】，其中(|x_1-2|)和(|x_2-2|)的意义分别表示自变量(x_1)和(x_2)到对称轴(x=2)的距离，再两边平方求解即可；

二者统一

若函数(f(x))为偶函数，则有对称轴为直线(x=0)，在([0,+infty))上单调递增；如果求解(f(x_1)>f(x_2))，则得到(|x_1-0|>|x_2-0|)；

函数(g(x))非偶函数，对称轴为直线(x=2)，在([2,+infty))上单调递增；；如果求解(g(x_1)>g(x_2))，则得到(|x_1-2|)(>)(|x_2-2|)；

典例剖析

已知函数(f(x+2))是定义域为(R)的偶函数，(f(x))在((2, +infty))上单调递减，则不等式(f(ln x)-f(1)<0)的解集是 【(quad)】

$A.(0,1)cup (3,+infty)$ $B.(1,3)$ $C.(0,e)cup (e^3,+infty)$ $D.(e,e^3)$

法1：利用示意图图像求解；

由于(f(x+2)) 的图象关于(y) 轴对称，故 (f(x)) 的图象关于直线 (x=2) 对称，

则有(f(1)=f(3))，由(f(ln x)-f(1)<0)得到，(f(ln x)<f(1))，

又由于(f(x)) 在 ((2,+infty)) 上单调递减，可得 (f(x)) 在 ((-infty, 2)) 上单调递增，

故得到即(ln x<1=ln e)或(ln x>3=ln e^3)，

解得 (0<x<e) 或 (x>e^{3})，故选：(C).

法2：类比偶函数的性质求解；

(f(x+2)) 的图象关于 (y) 轴对称，故(f(x))的图象关于直线 (x=2) 对称，

且(f(x))在在((-infty, 2))上单调递增，((2,+infty))上单调递减，

由(f(ln x)-f(1)<0)先变形为 (f(ln x)<f(1))，

则结合绝对值的定义，得到(|ln x-2|>|1-2|=1)故自变量的值(x)距离对称轴(x=2)越远，则函数值(f(x))越小；由(f(ln x))(<)(f(1))，则得到(|ln x-2|)(>)(|1-2|)

即(|ln x-2|>1)

所以(ln x-2>1) 或(ln x-2<-1)，即(ln x<1=ln e)或(ln x>3=ln e^3)，

解得 (0<x<e) 或 (x>e^{3})，故选：(C).