前言
典例剖析
分析:本题目属于求解分段函数方程,可以将(f(x))这个整体视为已知中的(x),则原分段函数方程等价于
第一种情形,(0leq f(x)leq 1)且(f(x)=1);或第二种情形,(f(x)-3=1)且(f(x) otin[0,1]),
其中第一种可化简为(0leq f(x)leq 1),再等价转化为(egin{cases}xin[0,1]\f(x)=1end{cases})或(egin{cases}x otin[0,1]\0leq x-3leq 1end{cases})
解得(0leq xleq 1)或(3leq xleq 4);
第二种可化简为(f(x)=4),再等价转化为(egin{cases}xin[0,1]\1=4end{cases})或(egin{cases}x otin[0,1]\x-3=4end{cases}),解得(x=7);
综上所述,(x)的取值范围是([0,1]cup[3,4]cup{7}),故选(D)。
【法1】:利用复合函数的图像解决问题;首先利用函数的奇偶性求出函数(f(x))的解析式;
题目给定了(x<0)时的解析式,则当(x>0)时,(-x<0),则(f(-x)=(-x+1)e^{-x}),
又函数(f(x))为奇函数,则(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x}),又(f(0)=0),
故函数的解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{(x+1)e^x,x<0}\{0,x=0}\{(x-1)e^{-x},x>0}end{array} ight.)
接下来利用导数先研究(x<0)时的单调性,(f(x)=(x+1)e^x),则(f'(x)=(x+2)e^x),
则(xin (-infty,-2))时,函数(f(x))单调递减,(xin (2,0))时,函数(f(x))单调递增,又(f(0)=1),
故结合单调性和奇偶性,做出(R)上的函数示意图如下:
接下来分析复合函数(h(x)=f[f(x)])的图像。
当(x=0)时,(f(0)=0)时,(f(f(0))=0);
当(xin (0,1))时,内函数(f(x))单调递增,且(f(x)in (-1,0)),此时外函数在((-1,0))上也单调递增,故(f(f(x)))在(xin (0,1))上单调递增;
当(x=1)时,(f(1)=0),(f(f(1))=0);
当(xin (1,2))时,内函数(f(x))单调递增,且(f(x)in (0,e^{-2})),此时外函数在((0,e^{-2}))上也单调递增,故(f(f(x)))在(xin (1,2))上单调递增,且函数值从(1)逐渐增大到(f(f(2)))且(f(f(2))<0);
当(xin (2,+infty))时,内函数(f(x))单调递减,且(f(x)in (0,e^{-2})),此时外函数在((0,e^{-2}))上单调递增,故(f(f(x)))在(xin (2,+infty))上单调递减,且函数值逐渐趋近于(-1);
然后,用奇函数的性质对称画出(x<0)的那一部分,总体图像如下图所示;
由图可知,函数(y=f(f(x)))和(y=m)的交点最多有三个,故选(A);
- 下述的解法2,最好先说明借助图像如何由(x)找(f(x)),以及由(f(x))找(x);只要双向的对应理解透彻,下述的解法就好思考多了;
【法2】:由外向里,从函数值找自变量,首先利用函数的奇偶性求出函数(f(x))的解析式;
题目给定了(x<0)时的解析式,则当(x>0)时,(-x<0),则(f(-x)=(-x+1)e^{-x}),
又函数(f(x))为奇函数,则(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x}),又(f(0)=0),
故函数的解析式为(f(x)=left{egin{array}{l}{(x+1)e^x,x<0}\{0,x=0}\{(x-1)e^{-x},x>0}end{array} ight.)
接下来利用导数先研究(x<0)时的单调性,(f(x)=(x+1)e^x),则(f'(x)=(x+2)e^x),
则(xin (-infty,-2))时,函数(f(x))单调递减,(xin (2,0))时,函数(f(x))单调递增,又(f(0)=1),
故结合单调性和奇偶性,做出(R)上的函数示意图如下:
令(F(x)=0),即(f(f(x))=m),由图可知,要使得函数(y=f(f(x)))与(y=m)的图像有交点,则(min (-1,1));接下来关于(m)的取值分类讨论如下:
当(min (0,e^{-2}))时,如图所示,内函数(f(x)=a,ain (-1,0))或(f(x)=b,bin (1,2))或(f(x)=c,cin (2,+infty))
若(f(x)=b)或(f(x)=c)时,不存在(x);注意应该是在(y)轴上找点((0,b)),然后过此点做(x)轴的平行线,显然和函数的图像没有交点;
若(f(x)=a, ain (-1,0))时,此时和函数的图像最多有三个交点;
当(min (e^{-2},1))时,内函数(f(x)=a,ain (-1,0)),此时(f(x)in (-1,0))时,函数(y=a)和函数(y=f(x))图像最多有三个交点,
同理,当(min (-e^{-2},0))或(min (-1,-e^{-2}))时,仿上说明,同样最多有三个交点,故选(A);
分析:函数(y=2f^2(x)-3f(x)+1)的零点个数即方程(2f^2(x)-3f(x)+1=0)的根的个数,
故先求解方程(2f^2(x)-3f(x)+1=0),即([2f(x)-1][f(x)-1]=0),
解得(f(x)=1)或(f(x)=cfrac{1}{2}),
接下来原方程的根的个数转化为方程(f(x)=1)或(f(x)=cfrac{1}{2})的根的个数,
故做出函数(y=f(x))的图像和直线(y=1)和(y=cfrac{1}{2}),
由图像可以看出,其共有(5)个交点,故原函数的零点个数为(5)个。
法1:从数的角度入手思考,将内函数(f(x))理解为整体,则(f(f(a))=1)等价于以下的两个方程组,
Ⅰ.(left{egin{array}{l}{f(a)>0}\{log_2f(a)=1}end{array} ight.),或者Ⅱ.(left{egin{array}{l}{f(a)leq 0}\{[f(a)]^2+4[f(a)]+1=1}end{array} ight.),
解Ⅰ得到,(f(a)=2)①;解Ⅱ得到,(f(a)=0)②或者(f(a)=-4)③;
再次求解①得到,(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=2}end{array} ight.),或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=2}end{array} ight.),
解得(a=4)或(a=-2-sqrt{5}),
求解②得到,(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=0}end{array} ight.),或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=0}end{array} ight.),
解得(a=1)或(a=-2pm sqrt{3}),
求解③得到,(left{egin{array}{l}{a>0}\{log_2a=-4}end{array} ight.),或(left{egin{array}{l}{aleq 0}\{a^2+4a+1=-4}end{array} ight.),
解得(a=cfrac{1}{16})或(ain varnothing),
故实数(a)的所有取值的和为(4-2-sqrt{5}+1-2-sqrt{3}-2+sqrt{3}+cfrac{1}{16}=-cfrac{15}{16}-sqrt{5})。
法2:从图像入手分析,待编辑。
分析:首先学习理解一个分段函数方程的模型;
分析:先由奇偶性求得(x>0)时,(f(x)=2x+1),
即得到函数的解析式为(f(x)=egin{cases}2x-1&x<0\0&x=0\2x+1&x>0end{cases}),且已知(f(a)=3),求(a)的值,
等价转化为三个不等式组 (egin{cases}a<0\2a-1=3end{cases}),或(egin{cases}a=0\0=3end{cases}),或(egin{cases}a>0\2a+1=3end{cases}),
解得(a=1)。
学习理解透彻了上述模型后,我们开始求解本题目:
【法1】:从数的角度求解;令(f(x)=t),则函数的零点问题转化为方程(f(t)=-1)的解的个数问题;
即相当于已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(t)=-1),求(t)的值;
则上述分段函数方程等价于(left{egin{array}{l}{tleqslant 0}\{t+1=-1}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{t> 0}\{lnt=-1}end{array} ight.)
解得(t=-2)或者(t=cfrac{1}{e}),即(f(x)=-2)或者(f(x)=cfrac{1}{e}),到此题目又可以转化为
已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(x)=-2),求(x)的值;可以仿上求解得到(2)个(x)的值;
或已知(f(x)=left{egin{array}{l}{x+1,xleqslant 0}\{lnx,x>0,}end{array} ight.) 且(f(x)=cfrac{1}{e}),求(x)的值;亦可以仿上求解得到(2)个(x)的值;
故所求的零点的个数为(4)个。
【法2】:从形的角度求解;先做出分段函数图像如下:
先将函数的零点问题转化为方程(f[f(x)]=-1)的根的个数问题;作直线(y=-1)与函数(y=f(x))图像有两个交点,其横坐标分别为(x=-2)和(x=cfrac{1}{e}),
然后在同样的图上,再分别作直线(y=-2)和(y=cfrac{1}{e}),可以看出,这两条直线分别和分段函数(y=f(x))有两个交点,故共有四个交点。即所求的零点的个数为(4)个。
法1:若能将(f(a))理解成已知函数的(x),
则可以将(f(f(a))leq 2)等价转化为以下的两个不等式组:
(egin{cases}&f(a)<0\&f^2(a)+f(a)leq 2 end{cases}) 或 (egin{cases}&f(a)ge0\&-f^2(a)leq 2 end{cases})
分别解得:(-2leq f(a)<0)或(f(a)ge 0),故(f(a)ge -2);
到此问题转化为已知(f(x)=egin{cases}x^2+x,&x<0\-x^2,&xge 0 end{cases}),(f(a)ge -2),
求实数(a)的取值范围,这就容易多了。
再次转化为(egin{cases}&a<0\&a^2+age -2 end{cases}) 或 (egin{cases}&age0\&-a^2ge -2 end{cases})
分别解得:(a<0)或(0leq aleq sqrt{2}),故实数(a)的取值范围为((-infty,+sqrt{2}])。
解后反思:本题经过两次抽丝剥茧般的处理,第一次的结果得到(f(a)ge -2),
第二次的结果得到(ain (-infty,+sqrt{2}])。
法2:图像法
自行做出函数图像,结合图像可知,
要使得(f(f(a))leq 2),则必须(f(a)ge -2),
这时就转化为分段函数不等式问题了。
(f(a)ge -2)等价于以下两个不等式组:
(egin{cases}&a<0 \&a^2+age -2end{cases})或(egin{cases}&age 0 \&-a^2ge -2end{cases})。
解得(a<0)或(0leq aleq sqrt{2}),
故(ain(-infty,sqrt{2}])。
①方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根;②方程(g[f(x)]=0)有且仅有(3)个根;
③方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根;④方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根;
则正确的命题有 _______________。①③④
【法1】:从里向外分析,重新配图;得空整理;
对于命题①而言,复合函数为(f[g(x)]);为什么如下选择区间?理由[1]
在([-2,x_0])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(-2)]=f(-2)=-2),(f[g(x_0)]=f(-1)=1),其中(g(x_0)=-1);
在([x_0,x_1])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(x_1)]=f(0)=0),其中(g(x_1)=0);
在([x_1,x_2])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(x_2)]=f(1)=-1),其中(g(x_2)=1);
在([x_2,-1])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(-1)]=f(2)=2);
在([-1,0])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(0)]=f(1)=-1);图中未说明,假定(g(0)=1);
在([0,1])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4);(g(1)=-0.3),(f(-0.3)=0.4)为估算值;
在([1,x_3])上,(f[g(x)] earrow),(f[g(x_3)]=f(-1)=1),其中(g(x_3)=-1);
在([x_3,2])上,(f[g(x)]searrow),(f[g(2)]=f(-2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根;故①正确;
当我们先选择函数(g(x))的区间为([-2,-1])时,此时虽然能保证内函数(g(x))单调递增,但是此时内函数的值域(g(x)in [-2,2]),其投射到外函数(f(x))上时,就放置到了外函数(f(x))的定义域([-2,2])内,此时外函数的单调性不唯一,说明我们一开始选取的内函数的研究区间([-2,-1])有些大了,所以需要压缩;一直压缩到([-2,x_0]),其中(g(x_0)=-1),这时候内函数的值域(g(x)in [-2,-1]),刚好投射到外函数的单调递增区间上,说明此时的区间选取是恰当合理的,其他的区间选取与此同理同法;
对于命题②而言,复合函数为(g[f(x)]);
在([-2,x_4])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(-2)]=g(-2)=-2),(g[f(x_4)]=g(-1)=2),其中(f(x_4)=-1);
在([x_4,x_5])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(x_5)]=g(0)=1),其中(f(x_5)=0);
在([x_5,-1])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(-1)]=g(1)=-0.3);
在([-1,0])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(0)]=g(0)=1);
在([0,1])上,(g[f(x)] earrow),(g[f(1)]=g(-1)=2);
在([1,x_6])上,(g[f(x)]searrow),(g[f(x_6)]=g(1)=0),其中(f(x_6)=1);
在([x_6,2])上,(f[g(x)]searrow),(g[f(2)]=g(2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根;故②错误;
对于命题③而言,复合函数为(f[f(x)]);
在([-2,x_4])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(-2)]=f(-2)=-2),(f[f(x_4)]=f(-1)=1),其中(f(x_4)=-1);
在([x_4,x_5])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(x_5)]=f(0)=0),其中(f(x_5)=0);
在([x_5,-1])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(-1)]=f(1)=-1);
在([-1,0])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(0)]=f(0)=0);
在([0,1])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(1)]=f(-1)=1);
在([1,x_6])上,(f[f(x)]searrow),(f[f(x_6)]=f(1)=-1),其中(f(x_6)=1);
在([x_6,2])上,(f[f(x)] earrow),(f[f(2)]=f(2)=2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根;故③正确;
对于命题④而言,复合函数为(g[g(x)]);
在([-2,x_0])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(-2)]=g(-2)=-2),(g[g(x_0)]=g(-1)=2),其中(g(x_0)=-1);
在([x_0,x_1])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(x_1)]=f(0)=0),其中(g(x_1)=0);
在([x_1,x_2])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3),其中(g(x_2)=1);
在([x_2,-1])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(-1)]=g(2)=-2);
在([-1,0])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(0)]=g(1)=0);
在([0,1])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(1)]=g(0)=1);
在([1,x_3])上,(g[g(x)] earrow),(g[g(x_3)]=g(-1)=2),其中(g(x_3)=-1);
在([x_3,2])上,(g[g(x)]searrow),(g[g(2)]=f(-2)=-2);
根据上述函数值,做出函数图像,由图像可知方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根;故④正确;
综上所述,正确的命题有①③④。
法2:从外向里分析,由图像可知,(-2leqslant g(x)leqslant 2),(-2leqslant f(x)leqslant 2),
对于命题①而言,由于满足方程(f[g(x)]=0)的(g(x))有(3)个不同值,由于每个值(g(x))又对应了(2)个(x)值,故满足(f[g(x)]=0)的(x)值有(6)个,即方程(f[g(x)]=0)有且仅有(6)个根,故命题①正确;
[图像使用方法说明]:由(y=f(x))的图像可以看出,使得(f(x)=0)的三个零点值分别为(x_1=-1.6),(x_2=0),(x_3=1.6)[估算],
在函数(y=g(x))的图像中,分别做直线(g(x)=-1.6),(g(x)=0),(g(x)=1.6),每一条直线和函数(y=g(x))都有(2)个交点,故共有(6)个交点。
对于命题②而言,由于满足方程(g[f(x)]=0)的(f(x))有(2)个不同值,从图中可知,每一个值(f(x)),一个(f(x))的值在((-2,-1))上,另一个(f(x))的值在((0,1))上,当(f(x))的值在((-2,-1))上时,原方程有一个解;当(f(x))的值在((0,1))上时,原方程有(3)个解,故满足(g[f(x)]=0)的(x)值有(4)个,即方程(g[f(x)]=0)有且仅有(4)个根,故命题②不正确;
对于命题③而言,由于满足方程(f[f(x)]=0)的(f(x))有(3)个不同值,从图中可知,一个(f(x))的值在((-2,-1))上,一个(f(x))的值为(0),另一个(f(x))的值在((1,2))上;当(f(x)=0)对应了(3)个不同的(x)值,当(f(x))在((-2,-1))上时,只对应一个(x)值;当(f(x))的值在((1,2))上时,也只对应一个(x)的值,故满足(f[f(x)]=0)的(x)值有(5)个,即方程(f[f(x)]=0)有且仅有(5)个根,故命题③正确;
对于命题④而言,由于满足方程(g[g(x)]=0)的(g(x))有(2)个不同值,从图中可知,每个(g(x))的值对应(2)个不同的(x)值,故满足(g[g(x)]=0)的(x)值有(4)个,即方程(g[g(x)]=0)有且仅有(4)个根,故命题④正确;
综上所述,正确的命题有①③④。
法1:【迭代递推】
(a_1=f(2^1)=2),即(f(2)=2),
(a_n=f(2^n)=f(2cdot2^{n-1})=2f(2^{n-1})+2^{n-1}f(2))
(=2^1cdot f(2^{n-1})+2^ncdot 1=2[2f(2^{n-2})+2^{n-2}f(2)]+2^ncdot 1)
(=2^2cdot f(2^{n-2})+2^ncdot 2)
(=2^3cdot f(2^{n-3})+2^ncdot 3)
(=2^4cdot f(2^{n-4})+2^ncdot 4)
(=2^{n-1}cdot f(2^1)+2^n cdot (n-1)=ncdot 2^n);
法2:【赋值法】
由题目(a_n=f(2^n))可知,(a_{n+1}=f(2^{n+1})),且(a_1=f(2)=2)
由于对任意的(x,yin R)都有(f(xy))(=xf(y))(+yf(x))成立,
令(x=2^n),(y=2),则有(f(2^{n+1})=f(2^ncdot 2)=2^nf(2)+2f(2^n)),
即(a_{n+1}=2a_n+2 imes 2^n),即(a_{n+1}=2a_n+2^{n+1}),
接下来两边同时除以(2^{n+1}),得到
(cfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=cfrac{a_{n}}{2^{n}}+1)
则数列({cfrac{a_n}{2^n}})是首项为(1),公差为(1)的等差数列,
则有(cfrac{a_n}{2^n}=1+(n-1) imes 1=n),
即所求通项公式为(a_n=ncdot 2^n)。
法1:可以计算出数列的前有限项,归纳猜想得到通项公式从而求解;
由题目可知(f_1(x)=cfrac{2}{1+x},f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))),
将(f_n(x))代入(f_1(x))得到,(f_{n+1}(x)=cfrac{2}{1+f_n(x)}),
用此式依次计算得到:
(f_1(x)=cfrac{2}{1+x},f_1(0)=2,a_1=cfrac{f_1(0)-1}{f_1(0)+1}=cfrac{1}{4});
(f_2(x)=cfrac{2(1+x)}{3+x},f_2(0)=cfrac{2}{3},a_2=cfrac{f_2(0)-1}{f_2(0)+1}=-cfrac{1}{8});
(f_3(x)=cfrac{2(3+x)}{5+3x},f_3(0)=cfrac{6}{5},a_3=cfrac{f_3(0)-1}{f_3(0)+1}=cfrac{1}{16},cdots);
由此猜想数列({a_n})是首项为(cfrac{1}{4}),公比为(-cfrac{1}{2})的等比数列,
通项公式为(a_n=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{n-1}),
则(a_{2017}=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{2017-1}=cfrac{1}{2^{2018}}).
法2:由上式得到启发,我们可以直接计算如下:
(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{cfrac{f_{n+1}(0)-1}{f_{n+1}(0)+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}}=cfrac{cfrac{f_1(f_n(0))-1}{f_1(f_n(0))+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}})
(=cfrac{cfrac{frac{2}{1+f_n(0)}-1}{frac{2}{1+f_n(0)}+2}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}}=cfrac{cfrac{1-f_n(0)}{2(f_n(0)+2)}}{cfrac{f_n(0)-1}{f_n(0)+2}} =-cfrac{1}{2}),
即(q=-cfrac{1}{2}),再计算(a_1=cfrac{f_1(0)-1}{f_1(0)+1}=cfrac{1}{4});
故数列({a_n})是首项为(cfrac{1}{4}),公比为(-cfrac{1}{2})的等比数列,
通项公式为(a_n=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{n-1}),则(a_{2017}=cfrac{1}{4}cdot(-cfrac{1}{2})^{2017-1}=cfrac{1}{2^{2018}}).
- 上次编辑时间:2019-07-21