第k短路和A*

　　第一次接触A*，感觉好神奇。。

启发函数：f(x) = g(x) + h(x);

比如初始状态为s，目标状态为t

g(x)表示从s到达状态x所消耗的代价

h(x)表示从x到达t所估算的代价

g'(x)表示s -> x可能出现的最小代价

h'(x)表示x -> t可能出现的最小代价

 g(x) >= g'(x)；h(x) <= h'(x)；

 好吧，上面全是概念。。。

当g(x) 为0时，A*就成了bfs，当h(x)为0时，A*就成了dfs。所以。。。启发函数的选择直接影响到A*算法的性能。

大概的说说我对A*算法运算过程的理解吧：

基本就是bfs形式，不过要用到优先队列。

如在求第k短路问题上：f(x)越小优先级越高。dis[x]表示x到t的最短路，这里可以用spfa预处理出来（把图逆向，求t到每个点的距离就ok了）。bfs过程中每次更新f(x)和g(x)

f(x) = [pre]g(x) + curent.value + dis[curnet.node];

[new]g*(x) = [pre]g(x) + curent.value.

比如：POJ 2499

模板如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <map>
#include <sstream>

#define CL(arr, val)    memset(arr, val, sizeof(arr))
#define REP(i, n)       for((i) = 0; (i) < (n); ++(i))
#define FOR(i, l, h)    for((i) = (l); (i) <= (h); ++(i))
#define FORD(i, h, l)   for((i) = (h); (i) >= (l); --(i))
#define L(x)    (x) << 1
#define R(x)    (x) << 1 | 1
#define MID(l, r)   (l + r) >> 1
#define Min(x, y)   x < y ? x : y
#define Max(x, y)   x < y ? y : x
#define E(x)    (1 << (x))

const double eps = 1e-4;
typedef long long LL;
using namespace std;

const int N = 1024;
const int M = 100010;
const int inf = ~0u>>2;

struct edg {
    int to;
    int val;
    int next;
    edg() {}
    edg(int a, int b, int c): to(a), val(b), next(c) {}
} g[M<<1], rg[M<<1];

struct node {
    int f, g, v;
    node() {}
    node(int a, int b, int c) : f(a), g(b), v(c) {}

    bool operator < (const node& x) const {
        return x.f < f;
    }
};

int inq[N];
int head[N];
int rhead[N];
int dis[N];
int t, k;

void init() {
    CL(head, -1);
    CL(rhead, -1);
    CL(inq, 0);
    t = 0;
    for(int i = 0; i < N; ++i)  dis[i] = inf;
}

void add(int u, int v, int w) {
    g[t] = edg(v, w, head[u]);
    rg[t] = edg(u, w, rhead[v]);
    head[u] = t;
    rhead[v] = t++;
}

void spfa(int ed) {
    int i, u, v, w;
    queue<int> q;
    q.push(ed);
    inq[ed] = 1;
    dis[ed] = 0;

    while(!q.empty()) {
        u = q.front();

        for(i = rhead[u]; i != -1; i = rg[i].next) {
            v = rg[i].to; w = rg[i].val;
            if(dis[v] > dis[u] + w) {
                dis[v] = dis[u] + w;
                if(!inq[v]) { inq[v] = 1; q.push(v);}
            }
        }
        inq[u] = 0; q.pop();
    }
}

int A_star(int st, int ed) {
    priority_queue<node> Q;
    if(dis[st] == inf)  return -1;
    int v, w;
    CL(inq, 0);
    Q.push(node(dis[st], 0, st));

    while(!Q.empty()) {
        node cur = Q.top();
        Q.pop(); inq[cur.v] ++;
        if(inq[ed] == k)    return cur.f;
        if(inq[cur.v] > k)  continue;

        for(int i = head[cur.v]; i != -1; i = g[i].next) {
            v = g[i].to; w = g[i].val;
            node New(dis[v] + cur.g + w, cur.g + w, v);
            Q.push(New);
        }
    }

    return -1;
}

int main() {
    //freopen("data.in", "r", stdin);

    int n, m, i;
    int u, v, w;
    int st, ed;
    init();
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w);
    }
    scanf("%d%d%d", &st, &ed, &k);

    spfa(ed);
    if(st == ed)    k++;
    printf("%d\n", A_star(st, ed));
    return 0;
}

参考:

http://blog.csdn.net/airarts_/article/details/7600419

http://imlazy.ycool.com/post.1956603.html    这个很全。。。

http://yzmduncan.iteye.com/blog/1162759