[问题2014S09] 解答
充分性: 先证明对 Jordan 块 (J_r(1)) 以及任意的正整数 (m), 均有 (J_r(1)^m) 相似于 (J_r(1)). 设 (N=J_r(0)), 则 (J_r(1)=I+N). 从而 [J_r(1)^m=(I+N)^m=I+mN+sum_{i=2}^mC_m^iN^i,] 这是一个上三角阵, 主对角线上的元素全为 (1), 上次对角线上的元素全为 (mgeq 1). 因此 (J_r(1)^m) 的特征值全为 (1), 且特征值 (1) 的几何重数为 (r-mathrm{rank}(J_r(1)^m-I)=r-(r-1)=1), 故 (J_r(1)^m) 关于特征值 (1) 的 Jordan 块只有一个, 即 (J_r(1)^m) 相似于 (J_r(1)). 由假设 (A) 的 Jordan 标准型为 [mathrm{diag}{J_{r_1}(1),cdots,J_{r_k}(1),0,cdots,0},] 故 (A^m) 相似于 [mathrm{diag}{ J_{r_1}(1)^m,cdots,J_{r_k}(1)^m,0,cdots,0 },] 从而相似于 [mathrm{diag}{J_{r_1}(1),cdots,J_{r_k}(1),0,cdots,0}.] 因此对任意正整数 (m), (A^m) 相似于 (A).
必要性: 先证明 (A) 的特征值只能是 (1) 或 (0). 设 (A) 的全体特征值为 (S={ lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n }), 则 (A^m) 的全体特征值为 (S^m={lambda_1^m,lambda_2^m,cdots,lambda_n^m}). 由假设 (A) 与 (A^m\,(mgeq 1)) 相似, 因此 (S) 与 (S^m\,(mgeq 1)) 作为集合 (其中元素计重数但不计次序) 是相同的. 对于任一 (lambda_i), 注意到 ({lambda_i,lambda_i^2,cdots}) 都是 (A) 的特征值, 但 (A) 的特征值只有 (n) 个, 故存在正整数 (r>s) 使得 (lambda_i^r=lambda_i^s), 从而 (lambda_i=0) 或者 (lambda_i^{r-s}=1). 因此对任意的 (1leq ileq n), 或者 (lambda_i=0), 或者存在正整数 (m_i) 使得 (lambda_i^{m_i}=1). 令 (M=mathrm{lcm}{m_i\,|\,lambda_i eq 0}), 则 [S=S^M={lambda_1^M,lambda_2^M,cdots,lambda_n^M}={1,cdots,1,0,cdots,0}.] 设 (A) 的 Jordan 标准型为 [mathrm{diag}{J_{r_1}(1),cdots,J_{r_k}(1),J_{r_{k+1}}(0),cdots,J_{r_s}(0)},] 其中 (1leq kleq s). 取 (N=max{r_{k+1},cdots,r_s}), 则由充分性的证明知, (A^N) 的 Jordan 标准型为 [mathrm{diag}{J_{r_1}(1),cdots,J_{r_k}(1),0,cdots,0}.] 因为 (A) 与 (A^N) 相似, 故(A) 的 Jordan 标准型也为 [mathrm{diag}{J_{r_1}(1),cdots,J_{r_k}(1),0,cdots,0}. quadBox]