本学期的高等代数每周一题活动计划从第2教学周开始，到第16教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“高等代数在线课程21级课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP扫描或用手机拍照（注意清晰度，且图片像素不宜过高），并将解答图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2021A01] 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$$|A|=egin{vmatrix} 1 & a & a^2 & cdots & a^{n-1} \ a & 1 & a & cdots & a^{n-2} \ a^2 & a & 1 & cdots & a^{n-3} \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & cdots & 1 \ end{vmatrix}.$$
[问题2021A02] 求下列 $n$ 阶行列式的值:
$$|A|=egin{vmatrix} 1 & x_1 & cdots & x_1^{n-2} & (x_2+x_3+cdots+x_n)^n \ 1 & x_2 & cdots & x_2^{n-2} & (x_1+x_3+cdots+x_n)^n \ vdots & vdots & & vdots & vdots \ 1 & x_n & cdots & x_n^{n-2} & (x_1+x_2+cdots+x_{n-1})^n \ end{vmatrix}.$$
[问题2021A03] 设多项式 $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+cdots+a_{n-1}x+a_n$, $A$ 是 $f(x)$ 的友阵 (空白处全为零): $$A=egin{pmatrix} & & & & -a_n \ 1 & & & & -a_{n-1} \ & ddots & & & vdots \ & & ddots & & vdots \ & & & 1 & -a_1 end{pmatrix}.$$ 设 $n$ 阶矩阵 $X$ 满足 $XA=A'X$, 求证: $X$ 是对称阵.
[问题2021A04] 求下列行列式的值: $$|A|=egin{vmatrix} a_1^2+n-1 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & cdots & a_1+a_n \ a_1+a_2 & a_2^2+1 & 1 & cdots & 1 \ a_1+a_3 & 1 & a_3^2+1 & cdots & 1 \ vdots & vdots & vdots & & vdots \ a_1+a_n & 1 & 1 & cdots & a_n^2+1 \ end{vmatrix}.$$
[问题2021A05] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足: $$AB=A+a_mB^m+a_{m-1}B^{m-1}+cdots+a_1B,$$ 其中 $a_m+a_{m-1}+cdots+a_1 eq 0$. 求证: $AB=BA$.
[问题2021A06] 若 $n$ 阶实方阵 $P$ 满足 $PP'=I_n$, 则称 $P$ 为正交阵. 设 $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵全体构成的集合, $T={P$ 为 $n$ 阶正交阵且满足 $I_n+P$ 可逆$}$.
(1) 对任意的 $Ain S$, 由高代白皮书的例 2.33 可知 $I_n+A$ 可逆, 定义 $varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$, 证明: $varphi$ 是从 $S$ 到 $T$ 的映射.
(2) 对任意的 $Pin T$, 定义 $psi(P)=(I_n-P)(I_n+P)^{-1}$, 证明: $psi$ 是从 $T$ 到 $S$ 的映射.
(3) 证明: $psivarphi=mathrm{Id}_S$, $varphipsi=mathrm{Id}_T$, 其中 $mathrm{Id}_S,mathrm{Id}_T$ 表示 $S,T$ 上的恒等映射, 即 $varphi,psi$ 实现了集合 $S$ 与 $T$ 之间的一一对应.
(4) 设 $n$ 阶实反对称阵 $$A=egin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & cdots & 1 \ -1 & 0 & 1 & cdots & 1 \ -1 & -1 & 0 & cdots & 1 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ -1 & -1 & -1 & cdots & 0 \ end{pmatrix},$$ 试求 $varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$.
[问题2021A07] 设 $A,B$ 为 $n\,(ngeq 2)$ 阶方阵, 满足 $AB=BA$, 证明: $AB^*=B^*A$, 其中 $B^*$ 是 $B$ 的伴随阵.
[问题2021A08] 设 ${alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_p}$ 是 $mathbb{K}^m$ 中 $p$ 个线性无关的 $m$ 维列向量, ${eta_1,eta_2,cdots,eta_q}$ 是 $mathbb{K}^n$ 中 $q$ 个线性无关的 $n$ 维列向量. 证明: ${alpha_icdoteta_j'\,(1leq ileq p,\,1leq jleq q)}$ 是 $pq$ 个线性无关的 $m imes n$ 矩阵.
[问题2021A09] 设 $A$ 为列满秩的 $m imes n$ 实矩阵.
(1) 求证: $A'A$ 为非异阵.
(2) 设 $A$ 的第一列元素全为 $1$, 令 $P=A(A'A)^{-1}A'$, 求证: $P$ 所有的主对角元素都大于等于 $dfrac{1}{m}$.