算法浅谈——人人皆知却很多人写不对的二分法

本文始发于个人公众号：TechFlow

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二分法可以说是鼎鼎大名，哪怕是没有学过编程的同学，也许说不上来二分法这个名字，但是对于其中的精髓应该都是有所了解的。不了解的同学也没关系，我一句话就能交代清楚：我们每次将一个集合一分为二，每次舍弃其中一半。
早在两千多年前，庄子就搞清楚了二分法的精髓，他说：一尺之棰，日取其半，万世不竭。从这个角度来说，二分法可能是这个世界上最古老的算法之一了。
二分法不仅古老，而且在计算机系统当中非常常见，许多系统当中都用到了二分法的思想。除此之外，在面试的时候，二分法的算法题也是常客。因为二分法本身不复杂，几乎人人都会，但是对二分法的使用能力却各有不同。出二分法的题，可以真实考察面试者的算法能力和编程功底。
不说比较困难的算法题想不出思路，就说最简单没有任何难度的纯二分，在面试的时候，出错的写出bug的也大有人在。
很多人会觉得奇怪，二分法这么简单的算法，真的有人写不出来吗？
还真的有，原因也很简单，恰恰就是二分法太简单了。
无论是在算法导论还是在一些其他的算法教材当中，关于二分法的描述都不多，详细的会有一些图例展示一下二分法的思想，简单的就用几句话描述一下原理，最后再展示一下代码，就完事了。读者在学的时候也是一样，看了一眼原理，哦，非常简单，再看一眼代码，只有三四行，差不多一眼就能记住，那就丢在一边吧。到了真正上手的时候，问题一下就暴露了出来。

二分法最常见的问题有两个，一个是二分的区间边界不清楚，另一个是二分查找的结果不明确。我想，这两个问题是前几次实现二分法的时候，一定会遇到的。遗憾的是，目前的教材当中对于这两个问题介绍都不多，都只有代码，留给读者自行揣摩。

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我们先说第一个问题——边界
早在小学我们就学过，用l表示区间左边界，r表示区间右边界，mid=(l + r) / 2表示二分的中间点。这个在数学里非常明确，但在编程的时候，有一个隐藏的问题被忽略了。究竟这个区间是闭区间呢，还是开区间呢，还是半开半闭区间或者是半闭半开区间？如果这个问题不想清楚，想要一次性写出没有bug的代码，老实说很不容易。
首先，二分终止的条件究竟怎么写，是while (l < r) 还是 while (l <= r) 还是别的？还有，在搜索的时候，我们究竟要不要将a[mid] == v的情况单独判断？我们是判断a[mid] < v还是a[mid] <= v？假设我们选择用a[mid] <= v，得到的结果为true。我们知道答案应该在区间的右半边，我们需要舍弃左边的区间。应该对l赋值，但是我们是赋值成l = m呢还是l=m + 1呢？又是为什么呢？
你看，如果l和r表示的区间不考虑清楚，我们在实际写代码的时候就会遇到这样棘手的问题。坑爹的是，当我们为这些边界头疼的时候，我们并不能意识到这是因为我们没有搞清楚表示区间的方法导致的。往往会觉得是自己不够熟悉。
显然，要解决这个问题需要确定l和r表示的区间种类。那么到底应该选择什么区间呢？是左闭右开，还是全闭，还是左开右闭呢？
答案有点出人意料，都行。
理论上来说，不论选什么样的区间，只要代码得当，都是可以的，可以说是完全看个人喜好。不过我个人推荐左闭右开，原因很简单，这个和编程当中的数组定义的情况一致。我们都知道，在代码的世界里，数组是从0开始的，一个长度为10的数组，最后一个元素的下标是9。如果使用左闭右开区间，我们将l=0，r=数组长度，就完成了初始化，如果用闭区间，r=长度-1，不免显得有些多余。
假设我们确定了使用左闭右开区间，我们再来看前面说的两个问题。
区间确定了，终止条件也就明确了，左闭右开区间[l, r)不为空的话，r 至少大于等于l + 1。我们要在区间长度大于1的时候执行二分，所以二分的循环条件应该是while (l + 1 < r)。

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那么while里的判断条件呢？
我们列举一下，a[mid] 和v的大小关系无非只有三种。
第一种a[mid] = v，很简单，mid就是我们要查找的结果，直接返回。
第二种a[mid] < v，说明我们应该取右边的区间，由于l的位置可以取到，而mid已经不是答案了，所以l = mid + 1。
第三种a[mid] > v，应该取左边的区间，mid不是答案，但是由于r指向的位置本身就不在候选区间里，所以r = mid，而不是mid-1，因为mid-1可能是答案，而r处的位置是取不到的。
到这里，似乎一切完美，我们可以很顺利地写出代码了。但是还没有结束，依然还有一个小问题。

前文说了，a[mid]和v的关系有三种，当a[mid] = v的时候，我们就找到了答案。从这个角度来看，我们二分的时候，通过l和r缩小区间的范围，通过mid来寻找答案。但是既然我们已经折半区间的大小了，那么当区间长度为1的时候，剩下的就是答案，我们为什么还需要通过mid去查找答案呢？如果我们就想通过区间本身来查找答案，那么应该怎么办呢？
也不难，我们需要把a[mid]小于和等于v的两种情况合并，由于a[mid]可能等于v，所以我们不能跳过mid这个位置，l = mid + 1 应该写成l = mid，于是整个代码也就出来了：

def binary_search(a, v):
    l, r = 0, len(a)
    while l + 1 < r:
        m = (l + r) // 2
        if a[m] <= v:
            l = m
        else:
            r = m
    # 通过a[l] == v判断v不存在与a数组当中的情况
    return l

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可能会有同学好奇，如果我不使用左闭右开，而使用闭区间呢，代码又该怎么写？

其实只要把区间想清楚了，写出来也不难。

def binary_search(a, v):
    l, r = 0, len(a) - 1
    while l <= r:
        m = (l + r) // 2
        if a[m] == v:
            return m
        if a[m] < v:
            l = m + 1
        else:
            r = m - 1
    # 表示不存在
    return -1

不过还有一个小问题，为什么闭区间形式的二分法的判断推荐是while (l <= r)呢？换成while (l < r)行不行？这个问题就留给大家思考。
二分法虽然简单，但这些细节都理解清楚也并不容易，在算法领域当中，如果细节没有理解到位，阴沟里翻船是非常平常的事情。希望今天的文章能对大家有所帮助。

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