计算几何-园的问题

一.圆与圆的位置关系

  1.两圆交的面积  两圆如果相交，则交的面积是一个弓形。考虑到两个圆相交的面积只与圆心距相关。我们可以对圆进行平移旋转，使得两个圆的圆心分别为(0,0)和(d,0).

模板如下：

double CircleCrossArea(Circle A,Circle B){
	double r1 = A.r, r2 = B.r;
	double d = Dis(A.o, B.o),r=min(r1,r2);
	if (RlCmp(d, r1 + r2) >= 0)
		return 0;        //相离或者外切
	if (RlCmp(d, abs(r1 - r2)) <= 0)
		return pi*r*r;       //内含
	//将r1放在圆心
	double x1 = (d*d + r1*r1 - r2*r2) / (2 * d);
	double s1 = x1*sqrt(r1*r1 - x1*x1) - r1*r1*acos(x1/r1);
	//将r2放在圆心
	double x2 = (d*d + r2*r2 - r1*r1) / (2 * d);
	double s2 = x2*sqrt(r2*r2 - x2*x2) - r2*r2*acos(x2 / r2);
	return abs(s1 + s2);
}

　2.两圆交点 两圆位置关系一共有5中。我们将其归纳为3种，0个交点，个交点，1个交点，2个交点.并且将重合也看为0个交点,模板如下：

int CirCleCrossCircle(Circle A,Circle B,Point&p1,Point&p2){
	double d = Dis(A.o, B.o);     //圆心距
	double r1 = A.r, r2 = B.r;
	if (RlCmp(d, r1 + r2) > 0||RlCmp(d,abs(r1-r2))<0)
		return 0;     //内含或者相离
	if (A.o == B.o&&RlCmp(r1, r2) == 0)
		return 0;     //重合
	double cos_angle = (r1*r1 + d*d - r2*r2) / (2 * r1*d);  //余弦定理
	double sin_angle = sqrt(1 - cos_angle*cos_angle);       //求sin
	Point q = (r1*cos_angle/d)*(B.o - A.o) + A.o; //交点连线与圆心连线的交点
	Point pt = (1.0/d)*Point(A.o.y - B.o.y, B.o.x - A.o.x);   //交点方向的单位向量
	p1 = q + (r1*sin_angle)*pt;
	p2 = q - (r1*sin_angle)*pt;
	if (p1 == p2)
		return 1;
	return 2;
}

　3.直线与圆相交问题 直线与圆相交，只需将直线到圆心距离与圆半径比较就可以。

//圆C与直线AB相交
int CircleCrossLine(Point A,Point B,Circle C,Point&p1,Point&p2){
	double d = PointToLine(C.o, A, B);
	double r = C.r;
	if (RlCmp(r, d)<0)
		return 0;     //直线与圆相离
	Point q = PointProjLine(C.o, A, B);
	double l = sqrt(r*r - d*d);
	Point s = (1.0/Dis(A, B))*(B - A);  //AB单位方向向量
	p1 = q + l*s;
	p2 = q - l*s;
	if (RlCmp(d, r) == 0)
		return 1;
	return 2;
}