手动博客搬家: 本文发表于20180716 10:49:04, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/81061378
首先，感谢以下几位大佬们在此问题上对我的帮助：本市大佬sdqd01, 外省大佬ez_dc, coconight, szlhx01, jxgz03 (均为某OJ用户名)
一、基本概念
有向无环图 (Directed Acyclic Graph, DAG): 没有环的有向图。
Tarjan算法缩点、拓扑排序
在有向无环图上，可以进行动态规划来求解问题，具体见后面的例题。
二、问题引入
一切都要从半年前说起：
半年前我正在准备地理生物中考，其中生物有这样一种题：
给一个食物网（当然是DAG啦），求该食物网里一共有几条食物链。
当时同学们的做法是：枚举每一条食物链。
先不考虑是否符合生物学原理，最坏情况下的复杂度？
(O(n2^{n-2})) (把边全连满)
但是我们可以(DP)！
我的做法：令(dp[i])表示以(i)结束（或称为在(i)处汇聚）的食物链条数。（食物链都是从被捕食者向捕食者连有向边）
则转移为：(dp[i]=sum_{jin ind[i]}dp[j]), 其中(ind[i])为连向(i)的点的集合。
初始状态：(dp[生产者]=1), 生产者即入度为0的点。
答案：(ans=sum dp[最高级消费者])，最高级消费者即出度为0的点。
但是一个问题是：如果我们用代码实现这个过程，如何确定dp的顺序？
很显然，一个点的(dp)值能够被确定，其先决条件是它的所有入点的(dp)值都已被确定。因此我们需要确定一个点的排列，使得每个点的所有入点都在这个点之前出现。这里用到拓扑排序。拓扑序就是我们(DP)的顺序。
那这样的话，先拓扑排序，记下来拓扑序列，然后从前往后DP？
其实还不用。我们可以直接一边拓扑排序一边DP，就是每(BFS)访问到一个节点(i)，我们枚举(i)的所有出度，对于(i)的一个出度(j), 删掉(i)到(j)的边 (拓扑排序)同时用(dp[i])更新(dp[j]) (DP).
一边拓扑排序，一边dp，既省空间又省代码。
复杂度？(n)个点(m)条边的话，(O(n+m)).
现在，假定这个图一定是DAG. 对于不是DAG的情况，将在后面讨论。
三、例题
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codeforces 919D (http://codeforces.com/problemset/problem/919/D)
https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/81061500 -
bzoj 1924 (https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1924)
首先，这道题难点在建图，这个过程不是本文的重点，不再赘述。
假设我们已经建出了图。现在我们需要求图上的最长链。有以下三种方法：
(1) SPFA跑最长路。 (2) DP. 有BFS和DFS两种方法。
DP做法(BFS)：令(dp[i])表示到i为止最长链的长度，则有(dp[i]=max_{jin ind[i]} dp[j]+1)，按拓扑序转移即可。
等等？建出的图上可能有环？
此时答案显然不能是(inf), 因为在本题中走过一个点多次只会统计一次答案。所以我们必须通过Tarjan算法来缩点，将每个强连通分量缩成一个点，点的权值为强连通分量的大小。这样的话，如果题目里的Henry沿最长链走到了这个强连通分量中的一个点，则此时如果顺道把这个强连通分量访问遍，答案显然不会更差。缩完点之后，变成了(DAG)，然后就可以(DP)啦。
但是！除了BFS，我们还有一种更简单的(DP)方法，即(DFS)！时间复杂度一样，BFS20行左右，DFS不到10行，而且省一点空间
具体做法：令(dp[i])为从i 开始的最长链。代码如下：
void dfs(int u,int prv)
{
if(dp[u]-a[u]>0) return;
dp[u] = a[u];
for(int i=fe0[u]; i; i=e0[i].nxt)
{
dfs(e0[i].v,u);
dp[u] = max(dp[u],dp[e0[i].v]+a[u]);
}
}
是不是特别简洁！不需要冗长的拓扑排序！
但是它是如何保证转移顺序的呢？
由于是从i开始，因此转移顺序应是每个点的所有出边连向的点转移后才转移这个点，而代码中的for循环恰恰保证了这一点。
整道题代码：(dfs)
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 300000;
const int M = 1200000;
const int C = 1000000;
struct Edge
{
int v,nxt; bool us;
} e[M+2],e0[M+2];
struct Node
{
int x,y,z;
bool operator <(const Node &arg) const
{
return y<arg.y;
}
} nd[N+2];
int fe[N+2],fe0[N+2];
int f[3][C+2];
int id1[N+2],id2[N+2];
int dfn[N+2],low[N+2];
int sta[N+2];
bool ins[N+2];
int clr[N+2];
int a[N+2];
int ind[N+2];
int que[N+2];
int dp[N+2];
vector<int> v1,v2;
int n,m,m0,num,cnt,tp,r,c;
void addedge(int u,int v)
{
m++; e[m].v = v;
e[m].nxt = fe[u]; fe[u] = m;
}
void addedge0(int u,int v)
{
m0++; e0[m0].v = v;
e0[m0].nxt = fe0[u]; fe0[u] = m0;
ind[v]++;
}
int getid1(int x)
{
return lower_bound(v1.begin(),v1.end(),x)-v1.begin()+1;
}
int getid2(int x)
{
return lower_bound(v2.begin(),v2.end(),x)-v2.begin()+1;
}
void Tarjan(int u)
{
cnt++; dfn[u] = cnt; low[u] = cnt; ins[u] = true;
tp++; sta[tp] = u;
for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
{
if(dfn[e[i].v]==0) {Tarjan(e[i].v); low[u] = min(low[u],low[e[i].v]);}
else if(ins[e[i].v]) {low[u] = min(low[u],dfn[e[i].v]);}
}
if(low[u]==dfn[u])
{
num++; a[num] = 1;
while(sta[tp]!=u)
{
ins[sta[tp]] = false;
clr[sta[tp]] = num;
a[num]++;
tp--;
}
ins[u] = false; clr[u] = num; tp--;
}
}
void dfs(int u,int prv)
{
if(dp[u]-a[u]>0) return;
dp[u] = a[u];
for(int i=fe0[u]; i; i=e0[i].nxt)
{
if(e0[i].v==prv) continue;
dfs(e0[i].v,u);
dp[u] = max(dp[u],dp[e0[i].v]+a[u]);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&r,&c); m = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d%d",&nd[i].x,&nd[i].y,&nd[i].z);
v1.push_back(nd[i].x); v2.push_back(nd[i].y);
}
sort(nd+1,nd+n+1);
int cur = 0,nxt = 1,prv = -1,pcur = 1,pnxt = 1,pprv = 0;
while(nd[pnxt].y==1) {f[nxt][nd[pnxt].x] = pnxt; pnxt++;}
for(int i=1; i<=c; i++)
{
cur = (cur+1)%3; nxt = (nxt+1)%3; prv = (prv+1)%3;
while(pnxt<=n && nd[pnxt].y==i+1)
{
f[nxt][nd[pnxt].x] = pnxt;
pnxt++;
}
while(nd[pcur].y==i)
{
if(nd[pcur].z==3)
{
if(f[prv][nd[pcur].x]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x]);
if(f[prv][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x-1]);
if(f[prv][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[prv][nd[pcur].x+1]);
if(f[cur][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[cur][nd[pcur].x-1]);
if(f[cur][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[cur][nd[pcur].x+1]);
if(f[nxt][nd[pcur].x]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x]);
if(f[nxt][nd[pcur].x-1]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x-1]);
if(f[nxt][nd[pcur].x+1]>0) addedge(pcur,f[nxt][nd[pcur].x+1]);
}
pcur++;
}
while(nd[pprv].y==i-1)
{
f[prv][nd[pprv].x] = 0;
pprv++;
}
}
sort(v1.begin(),v1.end()); v1.erase(unique(v1.begin(),v1.end()),v1.end());
sort(v2.begin(),v2.end()); v2.erase(unique(v2.begin(),v2.end()),v2.end());
for(int i=1; i<=n; i++)
{
nd[i].x = getid1(nd[i].x); nd[i].y = getid2(nd[i].y);
if(nd[i].z==1) id1[nd[i].x] = i; else if(nd[i].z==2) id2[nd[i].y] = i;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(id1[nd[i].x]!=i) addedge(id1[nd[i].x],i);
if(id2[nd[i].y]!=i) addedge(id2[nd[i].y],i);
if(nd[i].z==1 && id1[nd[i].x]!=i) addedge(i,id1[nd[i].x]);
else if(nd[i].z==2 && id2[nd[i].y]!=i) addedge(i,id2[nd[i].y]);
}
cnt = 0; num = 0; for(int i=1; i<=n; i++) if(dfn[i]==0) Tarjan(i);
m0 = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=fe[i]; j; j=e[j].nxt)
{
if(clr[i]!=clr[e[j].v])
{
addedge0(clr[i],clr[e[j].v]);
}
}
}
int ans = 0;
for(int i=1; i<=num; i++) if(ind[i]==0) {dfs(i,0); ans = max(ans,dp[i]);}
printf("%d
",ans);
return 0;
}