【洛谷P2421】荒岛野人

前言

\(\color{red}{\texttt{WYCdalao}}\)在\(1.542\)年之前切的题现在才写掉\(qwq\)，\(\color{grey}{\texttt{stoorz}}\)怕不是要被\(\color{red}{\texttt{WYCdalao}}\)碾爆\(qwqwq\)。

\[\color{white}{\texttt{上图不可以点QWQ}} \]

题目

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。
每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。
下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。

奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

思路

这道题的实际数据范围是\(1\le n\le 15\)，\(1\le C_i,P_i\le 100\)，\(0\le L_i\le 10^6\)。
其实题目说了那么多，题意其实就是给出\(c_i,p_i,l_i\)，求一个最小的\(m\)使得所有方程组

\[\left\{\begin{matrix}c_i+xp_i\equiv c_j+xp_j\ (\rm{mod}\ m) \\ x\leq l_i \\ x\leq l_j \end{matrix}\right.\]

无解。
由于\(m\)较小而且题目保证一定存在一个\(m\leq 10^6\)的解。所以考虑枚举\(m\)，然后枚举每一个野人。

\[c_i+xp_i\equiv c_j+xp_j\ (mod\ m) \Leftrightarrow (p_i-p_j)x+m·y=x_j-c_i \]

我们发现可以用\(Exgcd\)来求出满足要求的\(x\)。
那么要使得上述方程组无解，必须满足一下条件之一：

• \(c_j-c_i\)不是\(gcd(p_i-p_j,m)\)的倍数
• 求出来的\(x>min(l_i,l_j)\)

时间复杂度\(O(mn^2\log p_i)\)。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=20;
int n,m,c[N],p[N],l[N];
bool flag;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (!b)
	{
		x=1; y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x; x=y; y=temp-a/b*y;
	return d;
}

void check(int i,int j)
{
	if (p[i]<p[j]) swap(i,j);
	int x,y,d=exgcd(p[i]-p[j],m,x,y);
	if ((c[j]-c[i])%d) return;
	x=(x*(c[j]-c[i])/d%(m/d)+(m/d))%(m/d);
	if (x<=min(l[i],l[j])) flag=0;
}


int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);
		m=max(m,c[i]);
	}
	for (;;m++)
	{
		flag=1;
		for (int i=1;i<=n && flag;i++)
			for (int j=i+1;j<=n && flag;j++)
				check(i,j);
		if (flag) return !printf("%d",m);
	}
	printf("WYC AK IOI OrzOrz");
	return 0;
}