• 算法打基础——顺序统计(找第k小数)


    这次主要是讲如何在线性时间下找n个元素的未排序序列中第k小的数。当然如果(k=1 or k=n),即找最大最小

    数,线性时间内遍历即可完成,当拓展到一般,如中位数时,相关算法就值得研究了。这里还要说明的是,排序解

    决是一种平凡算法,但其复杂度是(Theta(nlogn))

    这次内容的主要知识点有:1.随机化版本的分治法求解&分析  2.基于1的优化pivot选择的算法&分析  

    1.随机化版本的分治法求解与分析

    首先,要明确的是现在我们要解决的问题是求解n元素序列的第k小数

    这种方法的主要思想是:从序列中随机选一个数pivot,然后用类似于merge-sort的分割方法,将序列分成大于和小于pivot的两部分.

    根据两边元素的数量,迭代的去求解,最终找到第k小元素. 下面给出伪代码:

    RAND-SELECT(A, p, q, i)           ⊳ith smallest ofA[p..q]

      if p= q then returnA[p]

      r←RAND-PARTITION(A, p, q) ⊳随机化分割子程序,返回处理完后pivot下标(分割见前面分治法)

      k←r–p+ 1                 ⊳k 是 A[r]这个元素在子序列A[p~q]中的位置

      if i== k then return A[r]

      if i< k

        then return RAND-SELECT(A, p, r –1, i)

        else return RAND-SELECT(A, r + 1, q, i –k)

    这里给出一个实例:

     

    对这种随机化版本的分割进行分析,如果我们每次比较幸运分类的话:

     T(n)=T(9n/10)+Θ(n)

            =Θ(n)

    如果每次分类都是最差情况的话(即0:n-1 split)

    T(n)=T(n-1)+Θ(n)

         =Θ(n2)   这种情况下比排序找这种平凡情况还要差

    更具体的我们要分析随机版本运行的期望时间,因为数学公式多,所以这个就写在我的算法笔记里面了

    结果最终肯定是Θ(n)!

      2.基于1的优化pivot选择的算法&分析  

    算法1是期望时间复杂度为O(n),那么存不存在最差情况都是O(n)的算法呢? 由算法1,我们可以思考,是

    什么导致了算法1的最差情况:是糟糕的划分。那么只要我们能找到一个好的划分方法,再基于算法1,就能

    得到最差情况也是线性的算法了。

    这里给出的Select算法就是这样的一个神奇的算法,这里先给出伪代码然后在用实例说明:

    SELECT(i, n)

    1.Divide the n elements into groups of 5. Find the median of each 5-element group by rote.

    2.Recursively SELECT the median xof the floor{n/5} group medians to be the pivot.

    3.Partition around the pivot x. Let k= rank(x).

    4 if i= k then return x

       elseif i< k

               then recursively SELECT the ith

                      smallest element in the lower part

               else recursively SELECT the (i–k)th

                      smallest element in the upper part

    注意这个算法的3、4步和前面的算法是一样的,因为这个算法的主要目的是通过第1,2步找到一个分割的pivot

    所以我们也着重分析1,2步

    第一步:首先将序列按照5个一组进行分组,多出来的就不用管了; 然后通过随意什么方法找到5个元素中位数

    第二步:通过递归调用这个算法Select找到floor{n/5}个元素的中位数x,我们将这个数作为分割用的pivot

    注意这里的箭头都是指向更小的数。然后我们来更具体的分析:

    我们知道至少ceil{floor{n/5}/2}个中位数是不大于x的,那么必然有3floor{n/10}个值是不大于x的。同理,对称的也有那么多是不小于x的.

    然后我们想让3floor{n/10}≥n/4,  当n≥50时是成立的。 也就是说这样分割一部分必然是≥4/n,即另一部分

    小于等于3n/4. 就是说如果来处理的话不会超过T(3n/4)

     

    然后我们来分析一下整个算法的复杂度:

    step1 分割应该就是遍历过程Θ(n)

    step2 递归解决n/5的问题 T(n/5)

    step3 按照得到的pivot分割数组 Θ(n)

    step4 递归解决分割的数组,最大不超过3n/4 T(3n/4)

    故 T(n)=T(n/5)+T(3n/4)+Θ(n)

    由替代法(其实就是n/5+3n/4=19/20n),可以得到这个算法是线性的。

     

    下面自己写的给出随机化算法的代码,第二个太懒了。。。还没写。写完会加上的

     1 /////////////////////////CLRS   video lec6  随机化版本的找第k大数/////////////////////////////////////////////////
     2 /// 运行时间的期望是O(n),最差情况O(n^2) /////////////////////////////////////////////////////
     3 
     4 #include<iostream>
     5 #include<cstdlib>
     6 #include<ctime>
     7 using namespace std;
     8 
     9 #define random(x)(rand()%x)
    10 
    11 void findkth(int* a,int s,int e,int k)
    12 {
    13     if(s>e) return;
    14     if(s==e)
    15     {
    16         cout<<a[s]<<endl;
    17         return;
    18     }
    19     int index=rand()%(e-s+1);
    20     int pivot = a[s+index],temp;
    21     temp=a[s];a[s]=pivot;a[s+index]=temp;
    22     // 下面这一段做partition的工作
    23     int i=s,j;
    24     for(j=s+1;j<=e;j++)
    25     {
    26         if(a[j]<pivot)
    27         {
    28             temp=a[++i];
    29             a[i]=a[j];
    30             a[j]=temp;
    31         }
    32     }
    33     temp=a[i];a[i]=pivot;a[s]=temp;
    34     if(i==k) 
    35     {
    36         cout<<pivot<<endl;
    37         return;
    38     }
    39     else if(i<k)
    40     {
    41         findkth(a,i+1,e,k);
    42     }
    43     else
    44     {
    45         findkth(a,s,i-1,k);
    46     }
    47 }
    48 
    49 
    50 
    51 int main()
    52 {
    53     int a[10];
    54     int i,j,k,index;
    55     srand(time(0));
    56     for(i=0;i<10;i++)
    57     {
    58         a[i]=random(50);
    59         cout<<a[i]<<" ";
    60     }
    61     cout<<endl;
    62     while(1){
    63     cin>>k;
    64     findkth(a,0,10-1,k);
    65     }
    66     return 0;
    67 }
    Rand_kth
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/soyscut/p/3388480.html
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